Связь матрицы Кирхгофа и матрицы инцидентности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 2 промежуточные версии 2 участников)
Строка 44: Строка 44:
 
==Источники информации==
 
==Источники информации==
  
*Асанов М., Баранский В., Расин В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 288 стр.
+
*Асанов М., Баранский В., Расин В. {{---}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 288 стр.
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Остовные деревья ]]
 
[[Категория: Остовные деревья ]]
 
[[Категория: Свойства остовных деревьев ]]
 
[[Категория: Свойства остовных деревьев ]]

Текущая версия на 19:25, 4 сентября 2022

Определение:
Пусть [math]G[/math] — произвольный граф. Превратим каждое его ребро в дугу, придав ребру одно из двух возможных направлений. Полученный орграф на том же самом множестве вершин будем называть ориентацией графа [math]G[/math].


Лемма:
Пусть [math]K[/math] матрица Кирхгофа графа [math]G[/math], [math]I[/math] матрица инцидентности [math]G[/math] с некоторой ориентацией. Тогда [math]K = I \cdot I^T.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
При умножении [math]i[/math]-й строки исходной матрицы [math]I[/math] на [math]j[/math]-й столбец транспонированной матрицы [math]I^T [/math] перемножаются [math]i[/math]-я и [math]j[/math]-я строки исходной матрицы. При умножении [math]i[/math]-й строки на саму себя на диагонали полученной матрицы получится сумма квадратов элементов [math]i[/math]-й строки, которая равна, очевидно, [math]\deg(v_i)[/math]. Пусть теперь [math]i \ne j[/math]. Если [math] (v_i, v_j) \in E [/math], то существует ровно одно ребро, соединяющее [math] v_i [/math] и [math] v_j [/math], следовательно результат перемножения [math]i[/math]-й и [math]j[/math]-й строк равен [math]-1[/math], в противном случае он равен [math]0[/math] в силу отсутствия ребра, инцидентного обеим вершинам. Определенная данными условиями матрица и является матрицей Кирхгофа.
[math]\triangleleft[/math]
Граф Матрица Кирхгофа Матрица инцидентности
Link kirhgof matrix 1.png [math]\left(\begin{array}{rrrrrr} 2 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0\\ -1 & 3 & -1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 3 & -1 & -1\\ -1 & -1 & 0 & -1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\ \end{array}\right)[/math] [math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}[/math]

См. также

Источники информации

  • Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 288 стр.