64
правки
Изменения
Нет описания правки
=Связь между максимизацией гиперобъема и аппроксимацией Парето-фронтаОсновные определения={{Определение|id=definition1|about=1|definition=Множество функций вида: <tex>f:[a, A] \rightarrow [b, B]</tex>, где <tex>f</tex> убывает и <tex>f(a) = B, f(A) = b</tex> обозначим через <tex>\mathbb{F}</tex>.}}
[[Эволюционные алгоритмы многокритериальной оптимизации, основанные на индикаторах. Гиперобъем#Коэффициент апроксимации|Коэффициент апроксимации]] монотонно убывающих функций не зависит от масштабов отрезков <tex> [a, A]</tex> и <tex>[b, B] </tex>. Так как для фиксированных констант <tex> \mu , \nu </tex> функция <tex> f^*:[ \mu a , \mu A ] \rightarrow [ \nu b , \nu B ]</tex> и <tex> f^*= \nu f(x/ \mu ) </tex> имеет тот же коэффициент аппроксимации. Однако, коэффициент аппроксимации зависит от значений <tex>A/a</tex> и <tex>B/b</tex>.
{{Определение
|id=definition2
|about=2
|definition=
Фиксируем <tex>n</tex>. Для фиксированного отрезка <tex> [a, A]</tex> будем называть кортеж <tex> X = (x_1, \ldots, x_n), a \leq x_1 \leq \ldots \leq x_n \leq A</tex> - множеством-решением. И множество таких решений будем обозначать через <tex>\mathbb{X}</tex>.
}}
}}
{{Определение
|id=definition3
|about=3
|definition=Пусть <tex>f \in \mathbb{F}, n \geq 3</tex> и <tex>X = \{x_1, \ldots, x_n\} \in \mathbb{X}</tex>. Вкладом этого множества называется <tex>Con(X) = x_i-x_{i - 1})(f(x_i) - f(x_{i - 1})</tex>.
Минимальным вкладом этого множества называется <tex>Con(X) = \min \limits_{2 \leq i \leq n - 1} (x_i-x_{i - 1})(f(x_i) - f(x_{i - 1}))</tex>.
}}
Далее будем рассматривать только монотонно убывающие, полунепрерывные [[Задача многокритериальной оптимизации. Multiobjectivization#Множество Парето оптимальных значений|Парето-фронты]]. Условие полунепрерывности необходимо для того, [[#statement1|чтобы существовало множество решение, максимизирующее индикатор гиперобъема]].
