Связь цепных дробей и алгоритма Евклида — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
 
Строка 1: Строка 1:
{{Требует доработки
+
Пусть <tex>\alpha\in\mathbb{Q}</tex> {{---}} рациональное число. Тогда ее разложение в [[цепная дробь|цепную дробь]] соответствует [[алгоритм Евклида|алгоритму Евклида]]. В самом деле, пусть <tex>\alpha=\frac{a}{b}, a, b \in \mathbb{Z}, b>0</tex>. Применим алгоритм Еквлида к числам <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
|item1=(Исправлено)Надо добавить к этому словесное описание.
 
}}
 
 
 
Пусть <tex>\alpha\in\mathbb{Q}, \alpha=\frac{a}{b}, a, b \in \mathbb{Z}, b>0</tex>. При данных условиях разложение дроби <tex>\frac{a}{b}</tex> эквивалентно [[Алгоритм Евклида|алгоритму Евклида]] для чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>:
 
  
 
На первом шаге получаем число <tex>r_1</tex>.
 
На первом шаге получаем число <tex>r_1</tex>.
 
+
:<tex>a=bq_1+r_1, \frac{a}{b}=q_1+\frac{1}{(\frac{b}{r_1})}</tex>
<tex>a=bq_1+r_1, \frac{a}{b}=q_1+\frac{1}{(\frac{b}{r_1})}</tex>
 
 
 
 
На втором шаге попробуем узнать <tex>\frac{b}{r_1}</tex>.
 
На втором шаге попробуем узнать <tex>\frac{b}{r_1}</tex>.
 
+
:<tex>b=r_1q_2+r_2, \frac{b}{r_1}=q_2 + \frac{1}{(\frac{r_1}{r_2})}</tex>
<tex>b=r_1q_2+r_2, \frac{b}{r_1}=q_2 + \frac{1}{(\frac{r_1}{r_2})}</tex>
 
 
 
 
На следующих шагах узнаем <tex>\frac{r_i}{r_{i+1}}</tex>
 
На следующих шагах узнаем <tex>\frac{r_i}{r_{i+1}}</tex>
 +
:<tex>r_1=r_2q_3+r_3, \frac{r_1}{r_2}=q_3+\frac{1}{(\frac{r_2}{r_3})}</tex>
 +
:<tex>\cdots</tex>
 +
:<tex>r_{n-2}=r_{n-1}q_n+r_n, \frac{r_{n-2}}{r_{n-1}}=q_n+\frac{1}{(\frac{r_{n-1}}{r_n})}</tex>
 +
:<tex>r_{n-1}=r_nq_{n+1}, \frac{r_{n-1}}{r_n}=q_{n+1}</tex>
  
<tex>r_1=r_2q_3+r_3, \frac{r_1}{r_2}=q_3+\frac{1}{(\frac{r_2}{r_3})}</tex>
+
Последовательно подставляя, получаем:
 
+
:<tex>\frac{a}{b}=q_1+\frac{1}{q_2+\cdots+\frac{1}{q_n+\frac{1}{q_{n+1}}}} = \langle q_1, q_2,\cdots, q_{n+1}\rangle</tex>
<tex>\cdots</tex>
+
:<tex>q_1, q_2,\cdots, q_n</tex> {{---}} неполные частные из алгоритма Евклида
 
 
<tex>r_{n-2}=r_{n-1}q_n+r_n, \frac{r_{n-2}}{r_{n-1}}=q_n+\frac{1}{(\frac{r_{n-1}}{r_n})}</tex>
 
 
 
<tex>r_{n-1}=r_nq_{n+1}, \frac{r_{n-1}}{r_n}=q_{n+1}</tex>
 
 
 
Последовательно подставляя, получаем :
 
 
 
<tex>\frac{a}{b}=q_1+\frac{1}{q_2+\cdots+\frac{1}{q_n+\frac{1}{q_{n+1}}}} = \langle q_1, q_2,\cdots, q_{n+1}\rangle</tex>
 
 
 
<tex>q_1, q_2,\cdots, q_n</tex> {{---}} неполные частные из алгоритма Евклида
 
  
 
[[Категория:Теория чисел]]
 
[[Категория:Теория чисел]]

Текущая версия на 08:54, 8 июля 2010

Пусть [math]\alpha\in\mathbb{Q}[/math] — рациональное число. Тогда ее разложение в цепную дробь соответствует алгоритму Евклида. В самом деле, пусть [math]\alpha=\frac{a}{b}, a, b \in \mathbb{Z}, b\gt 0[/math]. Применим алгоритм Еквлида к числам [math]a[/math] и [math]b[/math].

На первом шаге получаем число [math]r_1[/math].

[math]a=bq_1+r_1, \frac{a}{b}=q_1+\frac{1}{(\frac{b}{r_1})}[/math]

На втором шаге попробуем узнать [math]\frac{b}{r_1}[/math].

[math]b=r_1q_2+r_2, \frac{b}{r_1}=q_2 + \frac{1}{(\frac{r_1}{r_2})}[/math]

На следующих шагах узнаем [math]\frac{r_i}{r_{i+1}}[/math]

[math]r_1=r_2q_3+r_3, \frac{r_1}{r_2}=q_3+\frac{1}{(\frac{r_2}{r_3})}[/math]
[math]\cdots[/math]
[math]r_{n-2}=r_{n-1}q_n+r_n, \frac{r_{n-2}}{r_{n-1}}=q_n+\frac{1}{(\frac{r_{n-1}}{r_n})}[/math]
[math]r_{n-1}=r_nq_{n+1}, \frac{r_{n-1}}{r_n}=q_{n+1}[/math]

Последовательно подставляя, получаем:

[math]\frac{a}{b}=q_1+\frac{1}{q_2+\cdots+\frac{1}{q_n+\frac{1}{q_{n+1}}}} = \langle q_1, q_2,\cdots, q_{n+1}\rangle[/math]
[math]q_1, q_2,\cdots, q_n[/math] — неполные частные из алгоритма Евклида