Изменения

Пусть <tex>\alpha\in\mathbb{Q}</tex> {{---}} рациональное число. Тогда ее разложение в [[цепная дробь|цепную дробь]] соответствует [[алгоритм Евклида|алгоритму Евклида]]. В самом деле, пусть <tex>\alpha=\frac{a}{b}, a, b \in \mathbb{Z}, b>0</tex>. При данных условиях разложение дроби <tex>\frac{a}{b}</tex> эквивалентно [[Алгоритм Евклида|алгоритму Евклида]] для чисел Применим алгоритм Еквлида к числам <tex>a</tex> и <tex>b</tex>:.

На первом шаге получаем число <tex>r_1</tex>.:<tex>a=bq_1+r_1, \frac{a}{b}=q_1+\frac{1}{(\frac{b}{r_1})}</tex>На втором шаге попробуем узнать <tex>\frac{b}{r_1}</tex>.:<tex>b=r_1q_2+r_2, \frac{b}{r_1}=q_2 + \frac{1}{(\frac{r_1}{r_2})}</tex>На следующих шагах узнаем <tex>\frac{r_i}{r_{i+1}}</tex>:<tex>r_1=r_2q_3+r_3, \frac{r_1}{r_2}=q_3+\frac{1}{(\frac{r_2}{r_3})}</tex>:<tex>\cdots</tex>:<tex>r_{n-2}=r_{n-1}q_n+r_n, \frac{r_{n-2}}{r_{n-1}}=q_n+\frac{1}{(\frac{r_{n-1}}{r_n})}</tex>:<tex>r_{n-1}=r_nq_{n+1}, \frac{r_{n-1}}{r_n}=q_{n+1}</tex>

<tex>b=r_1q_2+r_2Последовательно подставляя, \frac{b}{r_1}=q_2 + \frac{1}{(\frac{r_1}{r_2})}</tex>получаем: <tex>r_1=r_2q_3+r_3, \frac{r_1}{r_2}=q_3+\frac{1}{(\frac{r_2}{r_3})}</tex> <tex>\cdots</tex> <tex>r_{n-2}=r_{n-1}q_n+r_n, \frac{r_{n-2}}{r_{n-1}}=q_n+\frac{1}{(\frac{r_{n-1}}{r_n})}</tex> <tex>r_{n-1}=r_nq_{n+1}, \frac{r_{n-1}}{r_n}=q_{n+1}</tex> Следовательно : <tex>\frac{a}{b}=q_1+\frac{1}{q_2+\cdots+\frac{1}{q_n+\frac{1}{q_{n+1}}}} = \langle q_1, q_2,\cdots, q_{n+1}\rangle</tex> :<tex>q_1, q_2,\cdots, q_n</tex> {{---}} неполные частные из алгоритма Евклида