Изменения

Пусть <tex>\alpha\in\mathbb{Q}</tex> {{Требует доработки---}} рациональное число. Тогда ее разложение в [[цепная дробь|цепную дробь]] соответствует [[алгоритм Евклида|item1алгоритму Евклида]]. В самом деле, пусть <tex>\alpha=Надо добавить \frac{a}{b}, a, b \in \mathbb{Z}, b>0</tex>. Применим алгоритм Еквлида к этому словесное описаниечислам <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.}}

Пусть На первом шаге получаем число <tex>r_1</tex>.:<tex>a=bq_1+r_1, \alphafrac{a}{b}=q_1+\infrac{1}{(\mathbbfrac{Qb}, {r_1})}</tex>На втором шаге попробуем узнать <tex>\alphafrac{b}{r_1}</tex>.:<tex>b=r_1q_2+r_2, \frac{ab}{br_1}, a, b =q_2 + \in frac{1}{(\mathbbfrac{r_1}{Zr_2}, b)}</tex>0На следующих шагах узнаем <tex>\frac{r_i}{r_{i+1}}</tex>. При данных условиях разложение дроби :<tex>r_1=r_2q_3+r_3, \frac{ar_1}{r_2}=q_3+\frac{1}{(\frac{r_2}{br_3})}</tex> эквивалентно [[Алгоритм Евклида|алгоритму Евклида]] для чисел :<tex>a\cdots</tex> и :<tex>br_{n-2}=r_{n-1}q_n+r_n, \frac{r_{n-2}}{r_{n-1}}=q_n+\frac{1}{(\frac{r_{n-1}}{r_n})}</tex>:<tex>r_{n-1}=r_nq_{n+1}, \frac{r_{n-1}}{r_n}=q_{n+1}</tex>

<tex>a=bq_1+r_1Последовательно подставляя, \frac{a}{b}=q_1+\frac{1}{(\frac{b}{r_1})}</tex> <tex>b=r_1q_2+r_2, \frac{b}{r_1}=q_2 + \frac{1}{(\frac{r_1}{r_2})}</tex>получаем: <tex>r_1=r_2q_3+r_3, \frac{r_1}{r_2}=q_3+\frac{1}{(\frac{r_2}{r_3})}</tex> <tex>\cdots</tex> <tex>r_{n-2}=r_{n-1}q_n+r_n, \frac{r_{n-2}}{r_{n-1}}=q_n+\frac{1}{(\frac{r_{n-1}}{r_n})}</tex> <tex>r_{n-1}=r_nq_{n+1}, \frac{r_{n-1}}{r_n}=q_{n+1}</tex> Следовательно : <tex>\frac{a}{b}=q_1+\frac{1}{q_2+\cdots+\frac{1}{q_n+\frac{1}{q_{n+1}}}} = \langle q_1, q_2,\cdots, q_{n+1}\rangle</tex> :<tex>q_1, q_2,\cdots, q_n</tex> {{---}} неполные частные из алгоритма Евклида