Секвенциальное и интуиционистское исчисление — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 
[[Лекция 4 | <<]][[Лекция 6 | >>]]
 
[[Лекция 4 | <<]][[Лекция 6 | >>]]
 +
 +
= Секвенциальное исчисление высказываний =
 +
 +
Исчисления гильбертовского типа, используемые здесь, не единственные. Как пример, рассмотрим секвенциальное исчисление. В данном разделе мы будем использовать символ <math>\supset</math> вместо символа <math>\rightarrow</math>.
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex>\Gamma</tex> и <tex>\Delta</tex> --- некоторые формулы исчисления высказываний. Тогда секвенция --- это запись вида <tex>\Gamma \rightarrow \Delta</tex>. Часть секвенции <tex>\Gamma</tex> называется ''антецедентом'', а <tex>\Delta</tex> --- ''сукцедентом''.
 +
}}
 +
 +
Неформальный смысл секвенции: секвенция <tex>\gamma_1,...\gamma_n \rightarrow \delta_1,...\delta_n</tex> означает, что из конъюнкции всех аргументов слева следует дизъюнкция всех аргументов справа. Пустой список слева соответствует истине, пустой список справа &mdash; лжи. Соответственно, доказуемость секвенции <tex>\rightarrow</tex> означает противоречие.
 +
 +
Формальная система, основанная на секвенциальном исчислении, имеет одну схему аксиом: <tex>(\psi) \rightarrow (\psi)</tex>, и множество правил вывода.
 +
 +
* Правила вывода и аксиомы смотри в книге Г. Такеути Теория доказательств, М, &lt;&lt;Мир&gt;&gt;, 1978, стр. 15-17.
 +
 +
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Теорема об устранении сечений. Любое доказательство, использующее правило сечения, может быть перестроено в доказательство, не использующее правило сечения.
 +
|proof=
 +
Без доказательства.
 +
}}
 +
 +
Интуиционистское исчисление высказываний может быть получено из классического путем введения ограничения на количество формул в суккцеденте: их должно быть не более одной.
 +
 +
= Интуиционистская логика =
 +
 +
Интуиционистское исчисление высказываний получается из классического заменой схемы аксиом 10 в исчислении высказываний (схемы аксиом снятия двойного отрицания) на следующую: <tex>(\neg (\psi)) \rightarrow (\psi) \rightarrow (\phi)</tex>
 +
 +
Конструкцию примера для доказательства необщезначимости закона исключенного третьего и конструкцию моделей Крипке см. Н.К.Шень, А.Верещагин, Лекции по математической логике и теории алгоритмов, часть 2. Языки и Исчисления.<br />
 +
<br />
 +
Глава 2, Интуиционистская пропозициональная логика, стр. 74-77.

Версия 21:36, 13 января 2012

<< >>

Секвенциальное исчисление высказываний

Исчисления гильбертовского типа, используемые здесь, не единственные. Как пример, рассмотрим секвенциальное исчисление. В данном разделе мы будем использовать символ [math]\supset[/math] вместо символа [math]\rightarrow[/math].


Определение:
Пусть [math]\Gamma[/math] и [math]\Delta[/math] --- некоторые формулы исчисления высказываний. Тогда секвенция --- это запись вида [math]\Gamma \rightarrow \Delta[/math]. Часть секвенции [math]\Gamma[/math] называется антецедентом, а [math]\Delta[/math] --- сукцедентом.


Неформальный смысл секвенции: секвенция [math]\gamma_1,...\gamma_n \rightarrow \delta_1,...\delta_n[/math] означает, что из конъюнкции всех аргументов слева следует дизъюнкция всех аргументов справа. Пустой список слева соответствует истине, пустой список справа — лжи. Соответственно, доказуемость секвенции [math]\rightarrow[/math] означает противоречие.

Формальная система, основанная на секвенциальном исчислении, имеет одну схему аксиом: [math](\psi) \rightarrow (\psi)[/math], и множество правил вывода.

  • Правила вывода и аксиомы смотри в книге Г. Такеути Теория доказательств, М, <<Мир>>, 1978, стр. 15-17.


Теорема:
Теорема об устранении сечений. Любое доказательство, использующее правило сечения, может быть перестроено в доказательство, не использующее правило сечения.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Без доказательства.
[math]\triangleleft[/math]

Интуиционистское исчисление высказываний может быть получено из классического путем введения ограничения на количество формул в суккцеденте: их должно быть не более одной.

Интуиционистская логика

Интуиционистское исчисление высказываний получается из классического заменой схемы аксиом 10 в исчислении высказываний (схемы аксиом снятия двойного отрицания) на следующую: [math](\neg (\psi)) \rightarrow (\psi) \rightarrow (\phi)[/math]

Конструкцию примера для доказательства необщезначимости закона исключенного третьего и конструкцию моделей Крипке см. Н.К.Шень, А.Верещагин, Лекции по математической логике и теории алгоритмов, часть 2. Языки и Исчисления.

Глава 2, Интуиционистская пропозициональная логика, стр. 74-77.