Изменения

'''Сеть Бетчера '''(англ. ''Batcher bitonic mergesort)''''' ) {{---}} [[Сортирующие сети|сортирующая сеть ]] размером <tex>O(n \log^2n)</tex> и глубиной <tex>O(\log^2n)</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} количество число элементов для сортировки. Её авторство принадлежит Кену Бетчеру<ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/Ken_Batcher Кену БетчеруWikipedia {{---}} Ken Batcher]</ref>.

'''Битонической последовательностью '''(англ. ''bitonic sequence)''''' ) называется числовая последовательностьконечный упорядоченный набор (кортеж) из вещественных чисел, которая в котором они сначала монотонно возрастаетвозрастают, а затем монотонно убываетубывают, или последовательностьнабор, которая который приводится к такому виду путем циклического сдвига.}}

'''Нуль-единичные битонические последовательности''' {{---}} последовательности кортежи из нулей и единиц вида <tex>0^i1^j0^k</tex> или <tex>1^i0^j1^k</tex> для целых <tex>i,j,k\ge0geqslant0</tex>, где <tex>1^i</tex> или <tex>0^i</tex> обозначает <tex>i</tex> идущих подряд единиц или нулей соответственно.}}В качестве Приведем несколько примеров нуль-единичной битонической последовательности можно привести последовательности : <tex>00111000</tex>, <tex>11000111</tex>, <tex>1110</tex>, <tex>1</tex>, <tex>000</tex>.

Построим сеть, которая эффективно сортирует все битонические последовательности {{---}} т.н. так называемый '''битонический сортировщик '''(англ. ''bitonic sorter)''''').

Битонический сортировщик представляет собой каскад так называемых '''полуфильтров '''(англ. ''half-cleaner)''''').Каждый полуфильтр {{---}} сеть компараторов единичной глубины, в которой <tex>i</tex>-й входной провод сравнивается со входным проводом с номером <tex>\fracdfrac{n}{2} + i</tex>, где <tex>i=1,2,...\dots,\fracdfrac{n}{2}</tex> (количество число входов <tex>n</tex> {{---}} чётное).

Если на вход в полуфильтр подать битоническую последовательность из нулей и единиц длиной <tex>n</tex>, то на выходе мы получим две битонические последовательности длиной <tex>\fracdfrac{n}{2}</tex> такие, что каждый элемент из верхней последовательности не превосходит любой элемент из нижней, и что одна из них будет <b>'''однородной '''(англ. ''clean)''</b> ) {{---}} целиком состоящей либо из нулей, либо из единиц.

Для всех <tex>i=1,2,...\dots,\fracdfrac{n}{2}</tex> полуфильтр сравнивает провода с номерами <tex>i</tex> и <tex>i+\fracdfrac{n}{2}</tex>. Без потери общности будем рассматривать входную последовательность вида <tex>0...01...10...0\dots01\dots10\dots0</tex> (для последовательности вида <tex>1...10...01...1\dots10\dots01\dots1</tex> рассуждения аналогичны). В зависимости от того в каком блоке из последовательно расположенных нулей и единиц находится средняя точка <tex>\fracdfrac{n}{2}</tex> входной последовательности, можно выделить 3 случая, причем один из случаев (когда средняя точка попадает на блок из единиц) можно разбить еще на 2 случая. Все 4 случая разобраны на рисунке справа. Для каждого из них лемма выполняется.

Количество компараторов равно <tex dpi="150">\frac{n \log_2{n}}{2}</tex>, потому что размер одного полуфильтра на <tex>n</tex> входов {{---}} <tex>\fracdfrac{n}{2}</tex> компараторов, а в слое битонического сортировщика находится <tex>2^{i-1}</tex> полуфильтров, где <tex>i</tex> {{---}} номер слоя, начиная с единицы.

'''Объединяющая сеть '''(Merger)'англ. ''merger'' ) {{---}} сеть компараторов, объединяющая две отсортированные входные последовательности в одну отсортированную выходную последовательность.}}

Отсортированная последовательность имеет вид <tex>0^i1^j</tex> для целых <tex>i, j\ge0geqslant0</tex>. Запишем две входные последовательности как <tex>0^i1^j</tex> и <tex>0^k1^l</tex>. Если перевернуть вторую последовательность, получится отсортированная по невозрастанию последовательность <tex>1^l0^k</tex>. Если теперь записать первую и перевернутую вторую последовательности подряд, получится битоническая последовательность <tex>0^i1^{j+l}0^k</tex>, которую можно отсортировать в битоническом сортировщике с глубиной <tex>O(\log{n})</tex>.

Объединяющая сеть является ничем иным как битоническим сортировщиком. Единственное отличие в том, что половина входных проводов расположена в обратном порядке (предполагается, что мы объединяем две сети одинакового размера <tex>\fracdfrac{n}{2}</tex>). Поэтому первый полуфильтр будет отличаться от остальных {{---}} он будет соединять <tex>i</tex>-ый провод не с <tex>\fracdfrac{n}{2} + i</tex>-ым, а с <tex>n-i+1</tex>-ым проводом. Схема объединяющей сети для восьми проводов приведена ниже.

Пусть мы хотим отсортировать <tex>n=2^k</tex> входов, <tex>k</tex> {{---}} целое и <tex>k \ge0geqslant0</tex>. Для этого сначала отсортируем пары проводов, поставив в первом слое компаратор между <tex>i</tex>-ым и <tex>i+1</tex>-ым проводом для нечетных <tex>i < n</tex>. Затем с помощью объединяющих сетей параллельно объединим отсортированные пары проводов в отсортированные четверки. Затем объединим отсортированные четверки в отсортированные восьмерки. И так далее, пока на выходе очередной объединяющей сети не будет <tex>n</tex> проводов.

Оценим глубину этой сортирующей сети. Она состоит из <tex>\log_2{n}</tex> слоёв объединяющих сетей и каждый слой имеет глубину, зависящую от его номера. В слое с номером <tex>i</tex> (<tex>1 \le leqslant i \le leqslant \log_2{n}</tex>) объединяющая сеть имеет глубину <tex>\log_2{2^i}</tex>, потому как объединяет <tex>2^i</tex> проводов. Таким образом глубина всей сортирующей сети в точности равна <tex dpi = "150">\sum\limits^{\log_2{n}}_{i = 1}{\log_2{2^i}} = \sum\limits^{\log_2{n}}_{i = 1}{i} = \fracdfrac{(1+\log_2{n})\log_2{n}}{2}</tex>. Оценим размер сети. В объединяющей сети на <tex>n</tex> входов содержится <tex>\dfrac{n \log_2{n}}{2}</tex> компараторов. Снова просуммируем формулу по числу объединяющих сетей и получим точную оценку <tex>\sum\limits^{\log_2{n}}_{i = 1}{ \dfrac{2^i \log_2{2^i}}{2} } = \sum\limits^{\log_2{n}}_{i = 1}{ 2^{i-1} i} = \dfrac{n \log_{2}^{2}{n} + 2 \log_2{n}}{4}</tex>. == См. также ==* [[Сортирующие сети для квадратичных сортировок]]* [[Сортировочные сети с особыми свойствами]]

Оценим размер сети. В объединяющей сети на <tex>n</tex> входов содержится <tex dpi="150">\frac{n \log_2{n}}{2}</tex> компараторов. Снова просуммируем формулу по числу объединяющих сетей и получим точную оценку <tex dpi = "150">\sum\limits^{\log_2{n}}_{i Примечания= 1}{ \frac{2^i \log_2{2^i}}{2} } = \sum\limits^{\log_2{n}}_{i = 1}{ 2^{i-1} i} = \frac{n \log_{2}^{2}{n} + 2 \log_2{n}}{4}</tex>.

<references />==Источникиинформации==*[http[wikipedia://en.wikipedia.org/wiki/Bitonic_sorter | Wikipedia {{---}} Bitonic mergesortsorter]]