1632
правки
Изменения
м
Пусть дана строка <tex>s</tex>, '''Левый символ''' для позиции <tex>|s| = ni</tex>. Суффиксное дерево (сжатое суффиксное дерево) <tex>T</tex> для строки <tex>sS</tex> {{- ориентированное дерево с корнем, имеющее ровно <tex>n</tex> листьев, занумерованных от --}} это символ <tex>S(i-1</tex> до <tex>n)</tex>. Каждая внутренняя вершина, отличная от корня, имеет не меньше двух детей, а каждая дуга помечена непустой подстрокой строки '''Левым символом''' листа <tex>sL</tex>. Никакие две дуги не могут иметь пометокназывается ''левый символ'' начала суффикса, начинающихся с одного и того же символаведущего в этот лист.
Главная особенность суффиксного дерева заключается в том, что для каждого листа {{Определение|definition='''Вершина <tex>i</tex> конкатенация меток дуг на пути от корня к листу <tex>i</tex> в точности составляет суффикс строки <tex>sv</tex>различна влево''', который начинается если как минимум два листа в позиции поддереве <tex>iv</tex>, то есть <tex>s[iимеют различные ''левые символы''..n]</tex>По определению лист не может быть различным влево.==Существование сжатого суффиксного дерева==}}[[Файл:Suffix_treeLeftBranchingSS.jpgpng|thumb|400px|right|Суффиксный бор Левые вершины и символы для строки суффиксного дерева над строкой <tex>xabxaaabcabd</tex> с защитным (символом<tex>\#</tex> помечены различные влево вершины)]]Определение суффиксного дерева не гарантируетДопустим, что такое дерево существует для любой строки строка ветвится влево. Пусть существуют подстроки <tex>cs</tex> и <tex>sds</tex>. Если один суффикс совпадает с префиксом другого суффикса, то построить суффиксное дерево, удовлетворяющее данному выше определению, невозможно, поскольку путь для первого тогда есть два суффикса не сможет закончиться в листе. Например, для строки начинающиеся с <tex>xabxas</tex> суффикс , которым соответствуют различные листовые вершины с различными левыми символами (<tex>xac</tex> является префиксом суффикса и <tex>xabxad</tex>). Во избежание этого Также в конце строки дереве существует внутренняя вершина <tex>v</tex>, соответствующая строке <tex>s</tex> добавляется символ, не входящий в исходный алфавит. Такой символ называется '''''защитным'''''. Как правилоИз определения следует, защитный символ обозначается что <tex>\$v</tex>различна влево.
==Связь с суффиксным бором==Пусть Чтобы найти строки, ветвящиеся влево, нужно проверить все внутренние вершины суффиксного дерева на различность влево. Если какая-то вершина <tex>v</tex> будет различна влево и удовлетворять свойству ветвимости право, то строка, соответствующая вершине <tex>Pv</tex> - будет ветвится вправо и влево. Чтобы найти вершины различные влево, нужно хранить левый символ для каждой вершины или информацию о том, что она различна влево. Для поиска строки, ветвящейся влево, нужно промаркировать всё дерево. Сделать это можно при помощи [[Суффиксный борОбход в глубину, цвета вершин|суффиксный боробхода в глубину]] строки . Начиная с корня, спускаясь вниз, для листов левый символ уже известен {{---}} при добавление нового суффикса в дерево записываем левый символ для него в лист, для вершины <tex>sv</tex>запустим проверку. Тогда сжатое суффиксное дерево :'''Случай 1.''' Если среди левых детей <tex>Tv</tex> может быть получено из есть хотя бы один, удовлетворяющий свойству различности влево, то обозначаем <tex>Pv</tex> слиянием каждого пути из неветвящихся вершин как различную влево вершину (в одну дугусуффиксном дереве свойство различности влево передаётся от детей к родителю {{---}} строка соответствующая вершине <tex>v</tex> и строка соответствующая ребёнку <tex>v</tex> начинаются с одного и того же символа).==Хранение :'''Случай 2.''' Если среди левых символов детей <tex>v</tex> нет ни одного со свойством различная влево вершина, то проверяем на совпадение левые символы детей. ::'''Случай 2.1.''' Если все левые символ детей <tex>v</tex> одинаковы и эквивалентны <tex>x</tex>, то записываем в памяти==<tex>v</tex> этот символ <tex>x</tex>. В суффиксном дереве количество разветвлений ::'''Случай 2.2.''' Если не более все левые символы детей <tex>v</tex> эквивалентны, то записываем в <tex>v</tex>, что она различна влево. Так как время проверки <tex>v</tex> пропорционально числу детей, время работы всего алгоритма {{---}} <tex>O(n)</tex>. Теперь несложно среди всех найденных строк найти строку максимальной длины (также этот алгоритм можно использовать для нахождения количества листьевстрок, поэтому для его хранения требуется ветвящихся влево и вправо). Таким образом можно найти строку максимальной длины, ветвящуюся влево и вправо, за время <tex>ST+O(n|\Sigma|)</tex> памяти, где <tex>ST</tex> {{---}} время построения суффиксного дерева. ==ИспользованиеСм. также==Суффиксное дерево позволяет за линейное время найти:* Количество различных подстрок данной строки* Наибольшую общую подстроку двух строк* Все вхождения заданного образца в строку[[Суффиксный бор|Суффиксный бор]]* [[Суффиксный массив| Суффиксный массив]] и массив <tex>lcp</tex> (longest common prefix)* [[Алгоритм Укконена| Алгоритм Укконена]] ==Источникиинформации==*''Дэн Гасфилд - '' — '''Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология - ''' — СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. — 654 с: ил. [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Словарные структуры данных ]]
rollbackEdits.php mass rollback
[[Суффиксный бор|Суффиксный бор]] {{---}} удобная структура данных для поиска подстроки в строке, но она требует порядка квадрата длины исходной строки памяти. Оптимизацией суффиксного бора, требующей линейное количество памяти, является '''сжатое суффиксное дерево''' (англ. ''compressed suffix tree''), рассматриваемое далее.
==Определение==
{{Определение
|neat = 1
|id=suffix_tree
|definition =
'''Суффиксное дерево''' (сжатое суффиксное дерево) <tex>T</tex> для строки <tex>s</tex> (где <tex>|s| = n</tex>) {{---}} дерево с <tex>n</tex> листьями, обладающее следующими свойствами:
*каждая внутренняя вершина дерева имеет не меньше двух детей;
*каждое ребро помечено непустой подстрокой строки <tex>s</tex>;
*никакие два ребра, выходящие из одной вершины, не могут иметь пометок, начинающихся с одного и того же символа;
*дерево должно содержать все суффиксы строки <tex>s</tex>, причем каждый суффикс заканчивается точно в листе и нигде кроме него.
}}
[[Файл:Suffix_tree_3.png|250px|thumb|Суффиксное дерево для строки <tex>xabxa</tex> с защитным символом]]
'''Данное определение порождает следующую проблему:''' <br/>
Рассмотрим дерево для строки <tex>xabxa</tex>: суффикс <tex>xa</tex> является префиксом суффикса <tex>xabxa</tex>, а, значит, этот суффикс не закачивается в листе. Для решения проблемы в конце строки <tex>s</tex> добавляют символ, не входящий в исходный алфавит: '''''защитный''''' символ. Обозначим его как <tex>\$</tex>. Любой суффикс строки с защитным символом действительно заканчивается в листе и только в листе, т. к. в такой строке не существует двух различных подстрок одинаковой длины, заканчивающихся на <tex>\$</tex>.
Далее <tex>n</tex> {{---}} длина строки <tex>s</tex> с защитным символом.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
==Число вершин==
По определению, в суффиксном дереве содержится <tex>n</tex> листьев. Оценим число внутренних вершин такого дерева.
{{Лемма
|statement=
Число внутренних вершин дерева, каждая из которых имеет не менее двух детей, меньше числа листьев.
|proof=
: Докажем лемму индукцией по числу листьев <tex>n</tex>.
: '''База'''
: При <tex>n = 2</tex> в дереве одна внутренняя вершина, следовательно утверждение верно.
: '''Переход''' <tex>n \rightarrow n + 1</tex>
: Возьмем вершину в дереве с <tex>n + 1</tex> листами, у которой два ребенка {{---}} листья. Рассмотрим возможные случаи:
# У нее более двух детей. Тогда отрежем от нее лист. Получим дерево с <tex>n</tex> листьями, причем в нем число внутренних вершин такое же, как в исходном дереве. Но у полученного дерева по индукционному предположению менее <tex>n</tex> внутренних вершин, а, значит, и для исходного дерева лемма верна.
# У нее ровно два ребенка. Отрежем их, получим дерево с <tex>n</tex> листьями, число внутренних вершин которого на <tex>1</tex> меньше, чем в исходном дереве. Тогда по индукционному предположению у него менее <tex>n</tex> внутренних вершин, значит, в исходном дереве их меньше <tex>n + 1</tex>.
}}
==Занимаемая память==
Представим дерево как двумерный массив размера <tex>|V| \times |\Sigma|</tex>, где <tex>|V|</tex> {{---}} число вершин в дереве, <tex>|\Sigma|</tex> {{---}} мощность алфавита. Для любого суффиксного дерева верна предыдущая лемма (у каждой вершины, по определению, не менее двух детей), значит, <tex>|V| = O(2 n)</tex>. Каждая <tex>a[i][j]</tex> ячейка содержит информацию о том, в какую вершину ведет ребро из <tex>i</tex>-ой вершины по <tex>j</tex>-ому символу и индексы <tex>l, r</tex> начала и конца подстроки, записанной на данном переходе. Итак, дерево занимает <tex>O(n|\Sigma|)</tex> памяти.
==Построение суффиксного дерева==
===Наивный алгоритм===
Рассмотрим наивный алгоритм построения суффиксного дерева строки <tex>s</tex>:
'''struct''' Vertex: <span style="color:Green">// Структура, содержащая информацию о вершине </span>
'''int''' l <span style="color:Green">// индекс начала подстроки </span>
'''int''' r <span style="color:Green">// индекс конца подстроки </span>
'''int''' v <span style="color:Green">// индекс текущей позиции </span>
go[0] = '''new''' Vertex <span style="color:Green">// массив из пустых Vertex (можно все поля положить -1), размер массива -- количество символов в алфавите </span>
count = 0 <span style="color:Green">// номер последней вершины, созданной в дереве (глобальная переменная)</span>
'''for''' i = 0 '''to''' n <span style="color:Green">// для каждого символа строки</span>
insert(i, n) <span style="color:Green">// добавляем суффикс, начинающийся с него</span>
'''void''' insert('''int''' l, '''int''' r):
cur = 0
'''while''' (l < r)
'''if''' (go[cur][s[l]].v == -1) <span style="color:Green">// если мы не можем пойти из вершины по символу <tex> l </tex></span>
createVertex(cur, l, r) <span style="color:Green">// создаем новую вершину</span>
'''else'''
start = go[cur][s[l]].l
finish = go[cur][s[l]].r
hasCut = ''false''
'''for''' j = start '''to''' finish and l + j - start < n <span style="color:Green">// для каждого символа на ребре из текущей вершины</span>
'''if''' (s[l + j - start] != s[j]) <span style="color:Green">// если нашли не совпадающий символ</span>
<span style="color:Green">// создаем вершину на ребре</span>
old = go[cur][s[l]]
createVertex(cur, l, j)
go[count][s[j]].v = old
go[count][s[j]].l = j
go[count][s[j]].r = finish
createVertex(count, l + j - start, r)
hasCut = ''true''
'''break'''
'''if''' (!hasCut)
cur = go[cur][s[l]].v <span style="color:Green">// переходим по ребру</span>
l = l + finish - start <span style="color:Green">// двигаемся по суффиксу на длину подстроки, записанной на ребре</span>
'''else'''
'''break'''
'''void''' createVertex('''int''' cur, '''int''' l, '''int''' r):
go[++count] = '''new''' Vertex
go[cur][s[l]].v = count
go[cur][s[l]].l = l
go[cur][s[l]].r = r
Этот алгоритм работает за время <tex>O(n^2)</tex>, однако [[Алгоритм Укконена| алгоритм Укконена]] позволяет построить сжатое суффиксное дерево за <tex>O(n)</tex>.
===Построение из суффиксного массива===
Пусть нам известен [[Суффиксный массив| суффиксный массив]] <tex>suf</tex> строки <tex>s</tex>, его можно получить [[Алгоритм Карккайнена-Сандерса| алгоритмом Карккайнена-Сандерса]] за линейное время. Для преобразования нам также понадобится массив <tex>lcp</tex> (''longest common prefix''), который можно получить [[Алгоритм Касаи и др.| алгоритмом Касаи]].
В этом преобразовании используется тот же инвариант, что и в других суффиксных структурах:
# Строка <tex>s</tex> заканчивается специальным символом, который больше не встречается в строке.
# Следствие: <tex>lcp[i] < len[i - 1]</tex>, где <tex>len[i - 1]</tex> {{---}} длина суффикса, соответствующего <tex>suf[i - 1]</tex>.
Будем строить дерево, добавляя суффиксы в лексикографическом порядке. Чтобы ускорить добавление, будем использовать то, что <tex>i</tex>-ый суффикс имеет с предыдущим <tex>lcp[i]</tex> общих символов. Тогда добавление из корня не отличается от того, что мы поднимемся вверх из предыдущего суффикса до глубины <tex>lcp[i]</tex> и продолжим построение оттуда. Инвариант позволяет нам утверждать, что ни один лист мы не сможем продолжить, и нам всегда нужно будет хоть раз подняться из него вверх. Поскольку суффиксы отсортированы лексикографически, мы не будем спускаться по ребру после того, как уже поднялись из него из-за несовпадения символа. Все это позволяет сформулировать алгоритм добавления суффикса по известной вершине предыдущего суффикса:
# Подняться из вершины вверх до глубины <tex>lcp</tex>.
# Если эта глубина находится на ребре, разрезать ребро по ней.
# Вставить новую вершину как сына вершины с глубиной <tex>lcp</tex>.
В вершинах дерева <tex>Node</tex> мы будем хранить предка <tex>\mathtt {parent}</tex>, [[Стек| стек]] детей в лексикографическом порядке ребер <tex>\mathtt{children}</tex>, глубину вершины в символах от корня <tex>\mathtt{depth}</tex>.
Соответственно, конструктор вершины имеет вид <code>Node(Node parent, '''int''' depth)</code>.
<code>
'''Node''' addNextSuffix('''Node''' previous, '''int''' length, '''int''' lcp):
'''if''' (previous.depth == 0 '''or''' previous.depth == lcp) <font color=green> // Добавляем к сыновьям текущей вершины </font>
added = '''Node'''(previous, length)
previous.children.push(added)
'''return''' added
'''else'''
'''if''' previous.parent.depth < lcp <font color=green> // Нужно разрезать ребро </font>
inserted = '''Node'''(prevous.parent, lcp)
previous.parent.children.pop()
previous.parent.children.push(inserted)
inserted.children.push(previous)
previous.parent = inserted
'''return''' addNextSuffix(previous.parent, length, lcp)
'''Node''' buildSuffixTree('''int[]''' suf, '''int[]''' lcp, '''int''' length):
root = '''Node'''('''null''', 0)
previous = root
'''for''' i = 1 '''to''' length
previous = addNextSuffix(previous, length - suf[i], lcp[i])
'''return''' root
</code>
В процессе построения мы нигде не запоминали сами позиции строки, соответствующие ребрам. Чтобы их восстановить, достаточно определить максимальный суффикс, который проходит по этому ребру. Для этого с помощью [[Обход в глубину, цвета вершин| обхода в глубину]] посчитаем для каждой вершину дерева максимальную глубину ее листа <tex>\mathtt{maxDepth}</tex>.
Тогда ребро <tex>s[start, end]</tex> определяется так:
<code>
'''void''' calculatePositions('''Node''' parent, '''Node''' child, '''int''' stringLength):
start = stringLength - child.maxDepth + parent.depth
end = start + child.depth - parent.depth - 1
</code>
Для асимптотического анализа будем использовать в качестве [[Амортизационный анализ#Метод потенциалов| потенциала]] глубину в вершинах. При добавлении суффикса мы спускаемся один раз, подняться выше корня мы не можем, значит, и подниматься мы будем суммарно <tex>O(n)</tex> раз. Обход в глубину также выполняется за <tex>O(n)</tex>, итоговая асимптотика <tex>O(n)</tex>.
==Использование сжатого суффиксного дерева==
Суффиксное дерево позволяет за линейное время найти:
# Количество различных подстрок данной строки.
# Наибольшую общую подстроку двух строк.
# [[Суффиксный массив| Суффиксный массив]] и массив <tex>lcp</tex> (''longest common prefix'') исходной строки.
# Строку максимальной длины, ветвящуюся влево и вправо за <tex>ST + O(n)</tex>.
===Построение суффиксного массива и массива lcp из суффиксного дерева===
Пусть к строке дописан специальный символ для сохранения инварианта.
Рассмотрим лексикографический по ребрам порядок обхода сжатого суффиксного дерева.
Пусть два суффикса имеют общее начало, но различаются в <tex>i</tex>-ом символе.
Первым будет рассмотрено поддерево по ребру с меньшим символом, значит и лист, соответствующий этому суффиксу, будет посещен первым.
Тогда суффиксный массив строится из суффиксного дерева [[Обход в глубину, цвета вершин| обходом в глубину]] в указанном порядке.
Пусть длина строки <tex>\mathtt{length}</tex>, глубина листа в символах <tex>\mathtt{depth}</tex>, тогда номер суффикса <tex>\mathtt{i = length - depth}</tex>.
Для заполнения массива <tex>lcp</tex> нам понадобится вершина <tex>\mathtt{minNode}</tex>, которая будет означать вершину с минимальной глубиной, в которую мы поднимались при переходе между суффиксами. Поскольку мы точно поднимались туда, но не поднимались выше, это будет [[Сведение задачи LCA к задаче RMQ| наименьший общий предок]] этих узлов. Из этого следует, что у рассматриваемых суффиксов совпадает ровно <tex>\mathtt{lcp = minNode.depth}</tex> символов.
<code>
'''int''' curPos = 0
'''Node''' minNode = root
<font color=green>// Для заполнения нужно вызвать dfs(root) </font>
'''void''' dfs('''Node''' n):
'''if''' n.children.size == 0
suf[curPos] = length - n.depth
lcp[curPos] = minNode.depth
curPos++
minNode = n
'''else'''
'''foreach''' child '''in''' n.children
'''if''' n.depth < minNode.depth:
minNode = n
dfs(child)
</code>
Асимптотика алгоритма совпадает с асимптотикой обхода в глубину и составляет <tex>O(n)</tex>.
Таким образом, мы умеем за <tex>O(n)</tex> строить [[Алгоритм Укконена| суффиксное дерево]], [[Алгоритм Карккайнена-Сандерса| суффиксный массив]] и преобразовывать одно в другое.
===Поиск строки максимальной длины, ветвящейся влево и вправо===
{{Определение
|definition=
'''Строка <tex>s</tex> называется ветвящейся вправо в <tex>t</tex>''' (англ. ''right branching string''), если существуют символы <tex>c</tex> и <tex>d</tex>, такие что <tex>c</tex> <tex>\ne</tex> <tex>d</tex> : <tex>sc</tex> и <tex>sd</tex> {{---}} подстроки <tex>t</tex>. Аналогично, '''ветвящаяся влево''' (англ. ''left branching''), если <tex>cs</tex> и <tex>ds</tex> {{---}} подстроки <tex>t</tex>.
}}
[[Файл:RightMergingSS.png|thumb|400px|center|Суффиксное дерево для строки <tex>aabcabd</tex>]]
Построим cуффиксное дерево при помощи [[Алгоритм Укконена|алгоритма Укконена]]. В полученном дереве не листовой вершине <tex>v</tex> будет соответствовать подстрока <tex>s</tex>, которая ветвится вправо, при условии, что количество "хороших" детей вершины <tex>v > 2</tex> ("хорошие" дети {{---}} листы, метка которых <tex>\ne\$</tex>). В примере для строки <tex>aabcabd</tex> это <tex>b</tex>, <tex>a</tex> и <tex>ab</tex>. Далее введём термины ''левый символ'' и ''вершина различная влево'', чтобы найти строки, ветвящиеся влево.
{{Определение
|definition=
}}
