32
правки
Изменения
Нет описания правки
|statement=<tex dpi=150> x^{(n)} = \sum\limits_{k=1}^n (L(n,k) \times (x)_k) = \sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k) </tex>
|proof=
Второе равенство получается из определения чисел Лаха<ref name="Lah numbers"/>. Поэтому осталось доказать лишь то, что левая часть равняется правой:
:<tex dpi=150> x^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k) </tex>
Подставим целое <tex dpi=150>m</tex> из отрезка <tex dpi=150>[0;n]</tex>, тогда получим:
|statement=<tex dpi=150>x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}</tex>
|proof=
:<tex dpi=150>\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)</tex> {{---}} для комплексного <tex dpi=150>z</tex><ref name=Gammaproof>[Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М: ГИФМЛ, <tex>1959</tex>. – страница <tex>118</tex>]</ref>.
Значит, это тождество верно и для <tex dpi=150>z=x</tex>, где <tex dpi=150>x</tex> {{---}} вещественное число. То есть:
:<tex dpi=150>\Gamma(x) = (x-1)\Gamma(x-1)</tex> {{---}} для вещественного <tex dpi=150>x</tex>.
|proof=
<tex dpi=150>\frac{\partial^n(x^a)}{\partial x^n} =a\times\frac{\partial^{n-1}(x^{a-1})}{\partial x^{n-1}}=a(a-1)\times\frac{\partial^{n-2}(x^{a-2})}{\partial x^{n-2}}</tex>
:<tex dpi=150>=a(a-1)\cdots (a-n+12)\times\frac{\partial^{n-(n-1)}(x^{a-(n-1)})}{\partial x^{n-(n-1)}}=(a)_n\,\, x^{a-n}</tex>
}}
==Обобщения==
Обобщение убывающего факториала, в которой {{---}} функция вычисляется по нисходящей арифметической последовательности целых чисел, а значения перемножаются какопределённая следующим образом:
:<tex dpi=150>[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),</tex>
где <tex>-h</tex> декремент и <tex>k</tex> {{---}} разница в убывающей арифметической прогрессии аргументов множителей и число факторовмножителей соответственно. Соответствующее обобщения Аналогичное обобщение растущего факториала:
:<tex dpi=150>[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).</tex>
