'''ЭТО ЕЩЁ НЕ КОНЕЦ, ЭТО ТОЛЬКО НАЧАЛО!!!'''{{Определение|definition=
В математике '''убывающим факториалом''' (англ. ''falling factorial'') (иногда называется '''нисходящим факториалом''', '''постепенно убывающим факториалом''' или '''нижним факториалом''') обозначают:
:<tex>(x)_{n}=x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\prod_prod\limits_{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod_prod\limits_{k=0}^{n-1}(x-k)</tex>При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).}}{{Определение|definition=
'''Растущий факториал''' (англ. ''rising factorial'') (иногда называется '''функцией Похгаммера''', '''многочленом Похгаммера''', '''восходящим факториалом''', '''постепенно растущим произведением''' или '''верхним факториалом''') определяется следующей формулой:
:<tex>x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod\limits_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod\limits_{k=0}^{n-1}(x+k). </tex>
При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).
}}
:Грахам, Кнут и Паташник<ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik in their book ''Concrete Mathematics'' (<tex>x^{(n1988</tex>)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n, Addison-Wesley, Reading MA. ISBN <tex>0-1)=\prod_{k=1}^{n}(x+(k201-1))=\prod_{k=0}^{n14236-1}(8</tex>, pp. <tex>47</tex>,<tex>48</tex></ref> предложили произносить эти записи как "<tex>x</tex> растущий к <tex>m</tex>" и "<tex>x+k). </tex>убывающий к <tex>m</tex>" соответственно.
При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение)В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал.
'''Символ Похгаммера''' введен Лео Августом Похгаммером в записи Когда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, <tex>(x)^_n</tex> равняется числу инъективных отображений<ref name="Injective function">[https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function Injective function]</ref> из множества с <tex>n</tex>, где элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и <tex>P(x,n)</tex> неотрицательное целое число. В зависимости от контекста символ Символ Похгаммера может обозначать как растущий факториалв основном используется в алгебре, где <tex>x</tex> {{---}} переменная, так и убывающий факториал. Поэтому при чтении любой статьи необходимо обратить внимание на то, какой именно из двух факториалов имеется в виду. Сам Похгаммер для себя использовал есть <tex>(x)^_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>n</tex> в другом смысле - для обозначения биномиального коэффициента от <tex>\tbinom xnx</tex>.
В этой статье <texb>(x)_nЗамечание</texb> означает убывающий факториал и <tex>(x)^n</tex> - растущий факториал. Такое же обозначение используется в комбинаторике.
Когда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, <tex>(x)_n</tex> равняется числу инъективных отображений из множества с <tex>n</tex> элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и Другие формы записи убывающего факториала: <tex>P(x,n)</tex>. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где <tex>^xP_n</tex> - переменная, то есть ,<tex>(P_{x)_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>,n}</tex> от или <tex>x_x P_n</tex>.
Другое обозначение растущего факториала <tex>x^{(n)}</tex> реже встречается, чем <tex>(x)^+_n</tex>. Обозначение <tex>(x)^+_n</tex> используется для растущего факториала, запись <tex>(x)^-_n</tex> обычно применяется для обозначения убывающего факториала для избежания недоразумений.<ref name=Knuth>According to Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. <tex>1</tex>, <tex>3</tex>rd ed., p. <tex>50</tex>.</ref>
[[File:RisingFactorial_3.jpg|401px|thumb|upright|График растущего факториала для <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>4</tex>]]
==Примеры==
[[File:PlotThePochhammerSymbolExample_02.png|401px|thumb|upright|График убывающего факториала для <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>4</tex>]]
Несколько первых растущих факториалов:
:<tex>x^{(0)}=x^{\overline0}=1 </tex>
==Свойства==
Убывающий и растущий факториалы определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно, <tex dpi=150>x</tex> может быть даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах.
===Коэффициенты связи===
Так как убывающие факториалы {{---}} базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов:
:<tex dpi=150>(x)_m (x)_n = \sum\limits_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!\, (x)_{m+n-k}.</tex>
{{Определение
|definition=
Коэффициенты <tex dpi=150>{m \choose k} {n \choose k} k!</tex>, стоящие при <tex dpi=150>(x)_{m+n-k}</tex>, называются '''коэффициентами связи''' (англ. ''connection coefficients'').
}}
===Биномиальный коэффициент===
Растущий и убывающий факториалы могут быть использованы для обозначения биномиального коэффициента:
:<texdpi=150>\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n} \quad\mbox{and}\quad </tex> и <tex dpi=150>\frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.</tex>
Таким образом, многие свойства биномиальных коэффициентов справедливы для падающих убывающих и растущих факториалов.
===Связь убывающего и растущего факториалов===Растущий факториал может быть выражен как падающий убывающий факториал, начинающийся с другого конца,
:<texdpi=150>x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n ,</tex>
или как убывающий с противоположным аргументом,
:<texdpi=150>x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} .</tex>
Убывающий и растущий факториалы определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно, <tex>x</tex> может быть даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах. Отношение двух символов Похгаммера можно выразить следующим образом:
Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения :<texdpi=150>\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x-i)_{n</tex>, но с использованием Гаммы функции при условии-i}, что <tex>x</tex> и <tex>x+\ n\geqslant i. </tex> вещественные числа, но не отрицательные целые:
Убывающий факториал возможно выразить следующим способом: :<texdpi=150>(x^)_{m+n} = x_{m} (x-m)_{n}</tex>:<tex dpi=150>(x)_{-n}=\frac{1}{(x+1)(x+2) \Gammacdots (x+n)}= \frac{1}{(x+1)^n} = \Gammafrac{1}{(x+n)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}},</tex>
то же самое и про убывающий ====Числа Стирлинга первого рода====Растущий факториалвыражается с помощью [[Числа Стирлинга первого рода|чисел Стирлинга первого рода]]:
:<texdpi=150>x^{(xn)_n} =\fracsum\limits_{\Gamma(x+k=1)}{\Gamma^n s(x-n+1,k)}.x^k</tex>
Если <tex>D</tex> означает производную по <tex>x</tex>, то====Числа Стирлинга второго рода====Убывающий и растущий факториалы выражаются друг через друга при помощи [[Числа Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]]:
:<texdpi=150>Dx^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} (x^a) _{n-k} </tex>:<tex dpi=150> = (a)_n\,sum\, xlimits_{k=0}^{an} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k}.(x)_k </tex>
== Связующие коэффициенты ==Числа Лаха====Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом числами Лаха<ref name="Lah numbers">[https://en.wikipedia.org/wiki/Lah_number Lah numbers]</ref>:{{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<tex dpi=150> x^{(n)} = \sum\limits_{k=1}^n (L(n,k) \times (x)_k) = \sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k) </tex>|proof=Второе равенство получается из определения чисел Лаха. Поэтому осталось доказать лишь то, что левая часть равняется правой::<tex dpi=150> x^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k) </tex>Подставим целое <tex dpi=150>m</tex> из отрезка <tex dpi=150>[0;n]</tex>, тогда получим::<tex dpi=150> m^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k) </tex>Заметим, что <tex dpi=150>(m)_k=0</tex> при <tex dpi=150>m+1 \leqslant k</tex>, поэтому слагаемые из суммы в правой части, начиная с <tex dpi=150>k\geqslant m+1</tex>, равны нулю, то есть::<tex dpi=150>\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k)=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k)</tex>Поделим обе части на <tex dpi=150>n!</tex> и тождества получим, что левая часть равна::<tex dpi=150>\frac{(n+m-1)!}{(m-1)!n!}=\frac{(n+m-1)!}{((n+m-1)-n)!n!}=\binom{n+m-1}{n}</tex>а правая часть будет равна:
Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом [[Lah numbers]] и суммами для интегральных степеней переменной <texdpi=150>x\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{1}{k!}\times\frac{m!}{(m-k)!})=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{m!}{k!(m-k)!})</tex> с привлечением [[Числа Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]] в следующих формах, в которых :<texdpi=150>=\sum\binomlimits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}\times\frac{rm!}{k!(m-k)!} )=\sum\limits_{k= r1}^{min(m,n)} (\underlinebinom{n-1}{k-1}\times\binom{m} / {k!})</tex>То есть мы хотим теперь доказать тождество::<reftex dpi=150>\binom{n+m-1}{cite web|titlen}=Introduction to the factorials and binomials|url\sum\limits_{k=http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/|website=Wolfram Functions Site1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{n-k}\times\binom{m}{k})</reftex>
:Это тождество очевидно из комбинаторики, так как обе части равны числу способов выбрать из <texdpi=150>\begin{align}x^{\underline{n}} & = \sum_{k=1}^n \binom{n+m-1}{k-1} \frac{</tex> элементов, разделённых на два множества по <tex dpi=150>n!}{k!} \times (x)_k \\ & = (-1)^n (-x)_n </tex> и <tex dpi= (x-n+1)_n 150>m</tex> элементов, <tex dpi= \frac{1}{(x+1)^{\overline{-150>n}}} \\ (x)_n & </tex> элементов. С одной стороны нельзя не признать, что это левая часть тождества по определению сочетания. С другой стороны нельзя не согласиться, что это правая часть тождества, в котором <tex dpi= \sum_{150>k</tex> означает количество элементов, берущихся из множества размера <tex dpi=0}^{n} \binom{n}{k} (n-1)^{\underline{150>m</tex>, а <tex dpi=150>n-k}} \times x^{\underline{k}} \\ & </tex> из второго множества размера <tex dpi= (-1)^n (-x)^{\underline{n}} = (x+150>n-1)^{\underline{n}} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{-n}}} \\ </tex>. & Многочлены, стоящие в левой и правой частях тождества, оказались равны в <tex dpi= \binom{-x}{150>n} (-1)^n n! \\ & = \binom{x+n-1}{n} n! \\ x^n & </tex> точке и при этом имеют степень не больше <tex dpi= \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ 150>n-k \end{matrix} \right\} x^{\underline{n-k}} \\ & = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k. \end{align} </tex>, то есть они формально совпадают.}}
Так как убывающие факториалы - базис кольца многочленов===Гамма функция===Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения <tex dpi=150>n</tex>, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториаловно с использованием Гамма функции<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function Gamma function]</ref> при условии, что <tex dpi=150>x</tex> и <tex dpi=150>x+n</tex> вещественные числа, но не отрицательные целые.
:{{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<texdpi=150>x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)_m }{\Gamma(x)_n }</tex>|proof=:<tex dpi=150>\Gamma(z+1) = z\sum_Gamma(z)</tex> {{k---}} для комплексного <tex dpi=150>z</tex>.Значит, это тождество верно и для <tex dpi=0150>z=x</tex>, где <tex dpi=150>x</tex> {{---}^m {m \choose k} {n вещественное число. То есть::<tex dpi=150>\choose k} k!Gamma(x) = (x-1)\, Gamma(x-1)_</tex> {m+n{---k}.} для вещественного <tex dpi=150>x</tex>.Заметим тогда, что:
Коэффициенты <texdpi=150>\Gamma(x+n) = ((x+n)-1)\cdot\Gamma((x+n)-1)_{m= ((x+n)-k}</tex> называются ''' связующий коэффициенты''' 1)(англ. connection coefficientsx+n-2). Они имеют комбинаторную интерпретацию как число способов определить \cdot\Gamma(or glue together(x+n)-2) каждый из <tex>k</tex> элементов из множества размера :<texdpi=150>m= \cdots = ((x+n)-1)((x+n)-2)\cdots((x+n)-n)\cdot\Gamma((x+n)-n)</tex> и множества из :<texdpi=150>= ((x+n)-1)((x+n)-2)\cdots x\cdot\Gamma(x)</tex> элементов. Так же есть связывающая формула для отношения двух символов Похгаммера:
Значит:<tex>\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x+i)_{n-i},\ n \geq i. </tex>
Additionally, we can expand generalized exponent laws and negative rising and falling powers through the following identities: :<texdpi=150>x^\frac{\underline{mGamma(x+n)}} & = x^{\underline{m}} Gamma(x-m)^{} = \underlinefrac{n}}</tex>:<tex>((x)_{m+n} & = )-1)(x)_m (x+mn)_n</tex>:<tex>(-2)\cdots x)_{-n} & = \frac{1}{cdot\Gamma(x-n)_n} = {\frac{1}{Gamma(x-1)^{\underline{n}}}</tex> :<texdpi=150>= (x^{\underline{+n-n}} & = \frac{1}{)(x+1n-2)_n} = \frac{1}{n! \binom{cdots x+n}{n}} = \frac{1}{x(x+1)\cdots(x+2n-1) \cdots =x^{(x+n)}</tex>}}
Finally, [[duplication formula|duplication]] and [[multiplication formulas]] for the rising factorials provide the next relationsто же самое и про убывающий факториал:
:{{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<texdpi=150>(x)__n=\frac{k+mn} = \Gamma(x+1)_k m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \leftGamma(\frac{x-n+j+k}{m}\right1)_n,\ m \in \mathbb{N} </tex> |proof=:<texdpi=150>\Gamma(axz+b1)_n = x^n z\prod_Gamma(z)</tex> {k=0}^{x-1--} \left(a+\frac{b+k}{для комплексного <tex dpi=150>z</tex>.Значит, это тождество верно и для <tex dpi=150>z=x}\right)_{n</x}tex>,\ где <tex dpi=150>x \in \mathbb{Z}^{+} </tex> {{---}} вещественное число. То есть::<texdpi=150>\Gamma(2xx+1)_{2n} = 2^{2n} (x)_n \leftGamma(x+\frac)</tex> {{1---}{2}\right)_n. для вещественного <tex dpi=150>x</tex>.Заметим тогда, что:
<tex dpi=150>\Gamma(x+1) =Альтернативные формы записиx\cdot\Gamma(x) =x(x-1)\cdot\Gamma(x-1)</tex> :<tex dpi=150>= \cdots = x(x-1)\cdots(x-n+1)\cdot\Gamma(x-n+1)</tex>
Альтернативная форма записи растущего факториалаЗначит::<tex>x^{\overline{m}}=\overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}\qquad\mbox{for integer }m\ge0,</tex>а убывающего факториала::<tex>x^{\underline{m}}=\overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m~\mathrm{factors}}\qquad\mbox{for integer }m\ge0;</tex>использовались А. Капелли (1893) и Л. Тоскано (1939) соответственно.<ref>According to Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed., p. 50.</ref> Грахам, Кнут и Паташник<ref>[[Ronald L. Graham]], [[Donald E. Knuth]] and [[Oren Patashnik]] in their book ''[[Concrete Mathematics]]'' (1988), Addison-Wesley, Reading MA. {{ISBN|0-201-14236-8}}, pp. 47,48</ref> предложили произносить эти записи как "<tex>x</tex> растущий к <tex>m</tex>" и "<tex>x</tex> убывающий к <tex>m</tex>" соответственно.
Другие формы записи убывающего факториала: <texdpi=150>P\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)} = \frac{x(x-1)\cdots(x,-n+1)</tex>, <tex>^\cdot\Gamma(x P_n</tex>, ,<tex>P_-n+1)}{\Gamma(x,-n+1)}</tex> или :<texdpi=150>_x P_n= x(x-1)\cdots(x-n+1) = (x)_n</tex>.}}
Другое обозначение растущего факториала ===Дифференциал==={{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<texdpi=150>\frac{\partial^n(x^a)}{\partial x^n} = (a)_n\,\, x^{a-n)}</tex> реже встречается, чем |proof=<texdpi=150>\frac{\partial^n(x^a)}{\partial x^n} =a\times\frac{\partial^{n-1}(x^{a-1})}{\partial x^{n-1}}=a(a-1)\times\frac{\partial^+_n</tex>. Обозначение <tex>{n-2}(x^{a-2})}{\partial x^+_n{n-2}}</tex> используется для растущего факториала, запись :<texdpi=150>=a(a-1)\cdots (a-n+2)\times\frac{\partial(x^{a-(n-1)})}{\partial x}=(a)_n\,\, x^{a-_nn}</tex> обычно применяется для обозначения убывающего факториала для избежания недоразумений.}}
==Обобщения==
The Pochhammer symbol has a generalized version called the Существует обобщённый символ Похгаммера<ref>[[generalized https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Pochhammer_symbol Generalized Pochhammer symbol]]</ref>, used in multivariate используемый в многомерном математическом анализе. Также существует <tex>q</tex>-аналог<ref>[[Mathematical analysis|analysis]]https://en.wikipedia. There is also a [[qorg/wiki/Q-analog|''q''-analogueanalog]], the </ref> {{---}} <tex>q</tex>-Похгаммер символ<ref>[[qhttps://en.wikipedia.org/wiki/Q-Pochhammer symbol|Pochhammer_symbol ''q''-Pochhammer symbol]]. A generalization of the falling factorial in which a function is evaluated on a descending arithmetic sequence of integers and the values are multiplied is: :<math>[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),</mathref> where {{math|−''h''}} is the decrement and {{math|''k''}} is the number of factors. The corresponding generalization of the rising factorial is
:<math>[f(x)]^Обобщение убывающего факториала {{k/h---}}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).</math>функция, определённая следующим образом:
This notation unifies the rising and falling factorials, which are :<tex dpi=150>[''f(x'')]<sup>''^{k''/1</sup> and [''-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x'']<sup>''-(k''/−-1)h),</suptex>, respectively.
For any fixed arithmetic function где <mathtex>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}-h</mathtex> and symbolic parameters и <mathtex>x, tk</mathtex>, related generalized factorial products of the form{{---}} разница в убывающей арифметической прогрессии аргументов множителей и число множителей соответственно. Аналогичное обобщение растущего факториала:
:<mathtex dpi=150>[f(x)_]^{n,f,tk/h} := f(x)\prod_{k=1}^{n-1} cdot f(x+h)\leftcdot f(x+2h)\frac{cdots f(x+(k-1)}{t^k}\righth).</mathtex>
may be studied from the point of view of the classes of generalized [[Stirling numbers of the first kind]] defined by the following coefficients of the powers of Эта запись объединяет растущий и убывающий факториалы, которые <mathtex dpi=150>[x^{k/1}]</mathtex> in the expansions of и <mathtex dpi=150>([x)_^{n,f,tk/-1}]</mathtex> and then by the next corresponding triangular recurrence relation:соответственно.
:Для арифметической функции <mathtex>f: \beginmathbb{alignN} \left[rightarrow \beginmathbb{matrixC} n \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} & = [</tex> и параметров <tex>x^{k-1}] (x)_{n,f,t} \\ & = f(n-1) t^{1-n} \left[\begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} + \left[\begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix} \right]_{f,t} + \delta_{n,0} \delta_{k,0}. \end{align} </mathtex>определено обобщенное факториальное произведение вида:
These coefficients satisfy a number of analogous properties to those for the [[Stirling numbers of the first kind]] as well as recurrence relations and functional equations related to the ''f-harmonic numbers'', :<mathtex dpi=150>F_n^{(rx)_{n,f,t}(t) := \sum_prod\limits_{k \leq =1}^{n-1} t^k / \left(x+\frac{f(k)}{t^r</math>.<ref>''[https://arxiv.org/abs/1611.04708 Combinatorial Identities for Generalized Stirling Numbers Expanding f-Factorial Functions and the f-Harmonic Numbers]'' (2016k}\right).</reftex>
== См.также ==
*[[Числа Стирлинга первого рода]]
*[[Числа Стирлинга второго рода]]
==Примeчания==
<references/>
==Источники материалаинформации==
* [http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html Pochhammer Symbol]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Falling_and_rising_factorials#cite_ref-3 Wikipedia {{---}} Falling and rising factorials]
* [https://www.mathworks.com/help/symbolic/pochhammer.html?requestedDomain=true Pochhammer Symbol at MATLAB]
* [http://mathworld.wolfram.com/RisingFactorial.html Rising Factorial]
* [https://www.researchgate.net/publication/309461372_Several_identities_involving_the_falling_and_rising_factorials_and_the_Cauchy_Lah_and_Stirling_numbers Several identities involving the falling and rising factorials and the Cauchy, Lah, and Stirling numbers]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория:Символ ПохгаммераКомбинаторика]]
