Изменения

При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение)В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал.

В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториалКогда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, так <tex>(x)_n</tex> равняется числу инъективных отображений<ref name="Injective function">[https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function Injective function]</ref> из множества с <tex>n</tex> элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и убывающий факториал. Сам Лео Август Похгаммер для себя использовал <tex>P(x,n)^n</tex> . Символ Похгаммера в основном используется в другом смысле алгебре, где <tex>x</tex> {{---}} для обозначения биномиального коэффициента переменная, то есть <tex>(x)_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>n</tex> от <tex dpi=150>\tbinom xnx</tex>.

Когда <texb>xЗамечание</texb> неотрицательное целое число, <tex>(x)_n</tex> равняется числу инъективных отображений<ref name="Injective function">[https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function Injective function]</ref> из множества с <tex>n</tex> элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и <tex>P(x,n)</tex>. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где <tex>x</tex> {{---}} переменная, то есть <tex>(x)_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>n</tex> от <tex>x</tex>.

===Связывающие коэффициентыКоэффициенты связи===

Коэффициенты <tex dpi=150>{m \choose k} {n \choose k} k!</tex>, стоящие при <tex dpi=150>(x)_{m+n-k}</tex> , называются ''' связывающими коэффициентамисвязи''' (англ. ''connection coefficients'').

Отношение двух символов Похгаммера определяется какможно выразить следующим образом:

Кроме того, мы можем Убывающий факториал возможно выразить убывающие факториалы следующим образомспособом:

:<tex dpi=150>(x^{\underline)_{m+n}} = x^{\underlinex_{m}} (x-m)^{\underline_{n}}</tex>:<tex dpi=150>(x)_{m+-n} = \frac{1}{(x+1)_m (x+m2)_n</tex>:<tex dpi=150>(x)_{-n} = \frac{1}{cdots (x-+n)_n} = \frac{1}{(x-+1)^{\underline{n}}}</tex> :<tex dpi=150>x^{\underline{-n}} = \frac{1}{(x+1n)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)}</tex>

Растущий факториалы выражаются друг через друга при помощи факториал выражается с помощью [[Числа Стирлинга первого рода|чисел Стирлинга первого рода]]<ref>[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Числа_Стирлинга_первого_рода Числа Стирлинга первого рода, применение]</ref>:

:<tex dpi=150>(x)^{(n)} = \sum\limits_{k=1}^n s(n,k) x^k</tex>

Убывающий и растущий факториалы выражаются друг через друга при помощи [[Числа Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]]<ref>[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Числа_Стирлинга_второго_рода Числа Стирлинга первого рода, переход от базиса обычных степеней к базису убывающих факториальных степеней]</ref>:

<tex dpi=150> x^{(n )} = \sum\limits_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} (x^{\underline)_{n-k}} </tex>

Второе равенство получается из определения чисел Лаха<ref name="Lah numbers"/>. Поэтому осталось доказать лишь то, что левая часть равняется правой:

:<tex dpi=150>\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)</tex> {{---}} для комплексного <tex dpi=150>z</tex><ref name=Gammaproof>[Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М: ГИФМЛ, <tex>1959</tex>. – страница <tex>118</tex>]</ref>.Значит, это тождество верно и для <tex dpi=150>z=x</tex>, где <tex dpi=150>x</tex> {{---}} вещественное число. То есть:

:<tex dpi=150>\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)</tex> {{---}} для комплексного <tex dpi=150>z</tex><ref name=Gammaproof/>.Значит, это тождество верно и для <tex dpi=150>z=x</tex>, где <tex dpi=150>x</tex> {{---}} вещественное число. То есть:

|statement=<tex dpi=150>\frac{d\partial^n(x^a)}{dx\partial x^n} = (a)_n\,\, x^{a-n}</tex>

<tex dpi=150>\frac{d\partial^n(x^a)}{dx\partial x^n} =a\times\frac{d\partial^{n-1}(x^{a-1})}{dx\partial x^{n-1}}=a(a-1)\times\frac{d\partial^{n-2}(x^{a-2})}{dx\partial x^{n-2}}</tex>:<tex dpi=150>=a(a-1)\cdots (a-n+12)\times\frac{d^{n-n}\partial(x^{a-(n-1)})}{dx^{n-n}\partial x}=(a)_n\,\, x^{a-n}</tex>

Обобщенный символ Похгаммера называется Существует обобщённый символ Похгаммера<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Pochhammer_symbol Generalized Pochhammer symbol]</ref>, используемый в многомерном математическом анализе. Также существует <tex>q</tex>-аналог<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Q-analog ''q''-analog]</ref> {{---}} <tex>q</tex>-Похгаммер символ<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Q-Pochhammer_symbol ''q''-Pochhammer symbol]</ref>.

Обобщение убывающего факториала, в которой {{---}} функция вычисляется по нисходящей арифметической последовательности целых чисел, а значения перемножаются какопределённая следующим образом:

где <tex>-h</tex> декремент и <tex>k</tex> {{---}} разница в убывающей арифметической прогрессии аргументов множителей и число факторовмножителей соответственно. Соответствующее обобщения Аналогичное обобщение растущего факториала:

Для арифметической функции <tex>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}</tex> и параметров <tex>x, t</tex> определен определено обобщенное факториальное произведение вида: