Изменения

В математике '''убывающим факториалом''' (англ. ''falling factorial'') (иногда называется '''нисходящим факториалом''',<ref name="Steffensen" /> '''постепенно убывающим факториалом''' или '''нижним факториалом''') обозначают::<tex>(x)_{n}=x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\prod_prod\limits_{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod_prod\limits_{k=0}^{n-1}(x-k)</tex>При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).

'''Растущий факториал''' (англ. ''rising factorial'') (иногда называется '''функцией Похгаммера''', '''многочленом Похгаммера''', '''восходящим факториалом''',<ref name="Steffensen">Steffensen, J. F., Interpolation (2nd ed.), Dover Publications, p. 8, ISBN 0-486-45009-0 (A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing Co.)</ref> '''постепенно растущим произведением''' или '''верхним факториалом''') определяется следующей формулой::<tex>x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod_prod\limits_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod_prod\limits_{k=0}^{n-1}(x+k). </tex>При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).

При Грахам, Кнут и Паташник<ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik in their book ''Concrete Mathematics'' (<tex>1988</tex>), Addison-Wesley, Reading MA. ISBN <tex>n=0-201-14236-8</tex>, pp.&nbsp;<tex>47</tex> значение принимается равным ,<tex>148</tex> (пустое произведение)</ref> предложили произносить эти записи как "<tex>x</tex> растущий к <tex>m</tex>" и "<tex>x</tex> убывающий к <tex>m</tex>" соответственно. В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал.

'''Символ Похгаммера''' введен Лео Августом Похгаммером в записи Когда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, <tex>(x)^n_n</tex>, где равняется числу инъективных отображений<ref name="Injective function">[https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function Injective function]</ref> из множества с <tex>n</tex> неотрицательное целое число. В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал. Поэтому при чтении любой статьи необходимо обратить внимание на то, какой именно элементами во множество из двух факториалов имеется в виду. Сам Похгаммер для себя использовал <tex>(x)^n</tex> в другом смысле - для элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения биномиального коэффициента <tex>\tbinom xn_x P_n</tex>.и <ref name="Knuth"tex>KnuthP(x, Donald En)</tex>. (1992)Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, "Two notes on notation"где <tex>x</tex> {{---}} переменная, American Mathematical Monthly, 99 то есть <tex>(5x): 403–422, arXiv:math_n</9205211 Freely accessible, doi:10.2307tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>n</2325085, JSTOR 2325085. The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.tex> от <tex>x</reftex>.

В этой статье <texb>(x)_nЗамечание</tex> означает убывающий факториал и <tex>(x)^n</tex> - растущий факториал. Такое же обозначение используется в комбинаторике.<ref>Olver, Peter J. (1999), Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55821-2, [https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1694364 MR 1694364]</refb>

Когда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, <tex>(x)_n</tex> равняется числу [[wikipediaДругие формы записи убывающего факториала:Injective function|инъективных отображений]] из множества с <tex>n</tex> элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и <tex>P(x,n)</tex>. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где <tex>^xP_n</tex> - переменная, то есть ,<tex>(P_{x)_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>,n}</tex> от или <tex>x_x P_n</tex>.

[[File:XxxCirclesPlotThePochhammerSymbolExample_02.png|420px401px|thumb|upright|График убывающего символа Похгаммерафакториала для <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>4</tex>]]

:<tex dpi=150>\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n} \quad\mbox{and}\quad </tex> и <tex dpi=150>\frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.</tex>

:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n ,</tex>

:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} .</tex>

Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения <tex dpi=150>n</tex>, но с использованием [[wikipedia:Gamma function|Гамма функции]] при условии, что <tex dpi=150>\frac{(x</tex> и <tex dpi)_n}{(x)_i} =150>(x+-i)_{n-i},\ n\geqslant i. </tex> вещественные числа, но не отрицательные целые:

Убывающий факториал возможно выразить следующим способом: :<tex dpi=150>(x^)_{m+n} = x_{m} (x-m)_{n}</tex>:<tex dpi=150>(x)_{-n}=\frac{1}{(x+1)(x+2) \Gammacdots (x+n)} = \frac{1}{(x+1)^n} = \Gammafrac{1}{(x+n)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}},</tex>

то же самое и про убывающий ====Числа Стирлинга первого рода====Растущий факториалвыражается с помощью [[Числа Стирлинга первого рода|чисел Стирлинга первого рода]]:

:<tex dpi=150>x^{(xn)_n} =\fracsum\limits_{\Gamma(x+k=1)}{\Gamma^n s(x-n+1,k)}.x^k</tex>

Если <tex dpi=150>D</tex> означает производную по <tex dpi=150>x</tex>, то==Числа Стирлинга второго рода====Убывающий и растущий факториалы выражаются друг через друга при помощи [[Числа Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]]:

:<tex dpi=150>Dx^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} (x^a) _{n-k} </tex>:<tex dpi=150> = (a)_n\,sum\, xlimits_{k=0}^{an} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k}.(x)_k </tex>

== Связывающие коэффициенты ==Числа Лаха====Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом числами Лаха<ref name="Lah numbers">[https://en.wikipedia.org/wiki/Lah_number Lah numbers]</ref>:{{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<tex dpi=150> x^{(n)} = \sum\limits_{k=1}^n (L(n,k) \times (x)_k) = \sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k) </tex>|proof=Второе равенство получается из определения чисел Лаха. Поэтому осталось доказать лишь то, что левая часть равняется правой::<tex dpi=150> x^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k) </tex>Подставим целое <tex dpi=150>m</tex> из отрезка <tex dpi=150>[0;n]</tex>, тогда получим::<tex dpi=150> m^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k) </tex>Заметим, что <tex dpi=150>(m)_k=0</tex> при <tex dpi=150>m+1 \leqslant k</tex>, поэтому слагаемые из суммы в правой части, начиная с <tex dpi=150>k\geqslant m+1</tex>, равны нулю, то есть::<tex dpi=150>\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k)=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k)</tex>Поделим обе части на <tex dpi=150>n!</tex> и тождества получим, что левая часть равна::<tex dpi=150>\frac{(n+m-1)!}{(m-1)!n!}=\frac{(n+m-1)!}{((n+m-1)-n)!n!}=\binom{n+m-1}{n}</tex>а правая часть будет равна:

Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом [[wikipedia:Lah number|числами Лаха]] и суммами для интегральных степеней переменной <tex dpi=150>x\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{1}{k!}\times\frac{m!}{(m-k)!})=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{m!}{k!(m-k)!})</tex> с привлечением [[Числа Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]] в следующих формах, в которых :<tex dpi=150>=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binomfrac{r(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!} \times\frac{m!}{k!(m-k)!})=\sum\limits_{k= r1}^{min(m,n)} (\underlinebinom{n-1}{k-1}\times\binom{m} / {k!})</tex>То есть мы хотим теперь доказать тождество::<ref nametex dpi="Introduction to the factorials and binomials"150>[http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/ Wolfram Functions Site \binom{n+m-1}{n}=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{n--k}\times\binom{m}{k} Introduction to the factorials and binomials])</reftex>

Это тождество очевидно из комбинаторики, так как обе части равны числу способов выбрать из <tex dpi=150> x^{\underline{n}} = \sum_{k=1}^n \binom{n+m-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k </tex>:элементов, разделённых на два множества по <tex dpi=150> = (n-1)^n (-x)_n </tex> и <tex dpi= (x-n+1)_n 150>m</tex> элементов, <tex dpi= \frac{1}{(x+1)^{\overline{-150>n}}} </tex>:элементов. С одной стороны нельзя не признать, что это левая часть тождества по определению сочетания. С другой стороны нельзя не согласиться, что это правая часть тождества, в котором <tex dpi=150> (x)_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (n-1)^{\underline{n-k}} \times x^{\underline{k}} </tex>:означает количество элементов, берущихся из множества размера <tex dpi=150> = (-1)^n (-x)^{\underline{n}} = (x+n-1)^{\underline{n}} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{-n}}} m</tex>:, а <tex dpi=150> = \binom{-x}{n} (-1)^n n! k</tex>:из второго множества размера <tex dpi=150> = \binom{x+n-1}{n} n! </tex>.Многочлены, стоящие в левой и правой частях тождества, оказались равны в <tex dpi=150> x^n = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} x^{\underline{n-k}} +1</tex>:точке и при этом имеют степень не больше <tex dpi=150> = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k. </tex>, то есть они формально совпадают.}}

Так как убывающие факториалы - базис кольца многочленов===Гамма функция===Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения <tex dpi=150>n</tex>, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториаловно с использованием Гамма функции<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function Gamma function]</ref> при условии, что <tex dpi=150>x</tex> и <tex dpi=150>x+n</tex> вещественные числа, но не отрицательные целые.

:{{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<tex dpi=150>(x)_m ^{(xn)_n }= \sum_{k=0}^m frac{m \choose kGamma(x+n)} {n \choose k} k!\, Gamma(x)_{m+n-k}.</tex>{{Определение|definitionproof=Коэффициенты :<tex dpi=150>\Gamma(z+1) = z\Gamma(xz)_</tex> {{m+n-k--}}для комплексного <tex dpi=150>z</tex> называются ''' связывающими коэффициентами''' (англ. ''connection coefficients'').}}Связывающие коэффициенты имеют комбинаторную интерпретацию как число способов объединить Значит, это тождество верно и для <tex dpi=150>z=x</tex>, где <tex dpi=150>kx</tex> элементов из множеств размера {{---}} вещественное число. То есть::<tex dpi=150>m\Gamma(x) = (x-1)\Gamma(x-1)</tex> и {{---}} для вещественного <tex dpi=150>nx</tex>.Заметим тогда, что:

Отношение двух символов Похгаммера определяется как<tex dpi=150>\Gamma(x+n) = ((x+n)-1)\cdot\Gamma((x+n)-1) = ((x+n)-1)(x+n-2)\cdot\Gamma((x+n)-2)</tex> :<tex dpi=150>= \cdots = ((x+n)-1)((x+n)-2)\cdots((x+n)-n)\cdot\Gamma((x+n)-n)</tex>:<tex dpi=150>= ((x+n)-1)((x+n)-2)\cdots x\cdot\Gamma(x)</tex>

Значит:<tex dpi=150>\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x+i)_{n-i},\ n \geq i. </tex>

Кроме того, мы можем развернуть экспоненты и убывающие факториалы как: :<tex dpi=150>x^\frac{\underline{mGamma(x+n)}} = x^{\underline{m}} Gamma(x-m)^{} = \underlinefrac{n}}</tex>:<tex dpi=150>((x)_{m+n} = )-1)(x)_m (x+mn)_n</tex>:<tex dpi=150>(-2)\cdots x)_{-n} = \frac{1}{cdot\Gamma(x-n)_n} = {\frac{1}{Gamma(x-1)^{\underline{n}}}</tex> :<tex dpi=150>= (x^{\underline{+n-n}} = \frac{1}{)(x+1n-2)_n} = \frac{1}{n! \binom{cdots x+n}{n}} = \frac{1}{x(x+1)\cdots(x+2n-1) \cdots =x^{(x+n)}</tex>}}

Наконец, по [[wikipedia:Multiplication theorem|теореме об умножении]] получаем следующие выражения для растущего факториалато же самое и про убывающий факториал:

:{{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<tex dpi=150>(x)__n=\frac{k+mn} = \Gamma(x+1)_k m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \leftGamma(\frac{x-n+j+k}{m}\right1)_n,\ m \in \mathbb{N} </tex> |proof=:<tex dpi=150>\Gamma(axz+b1)_n = x^n z\prod_Gamma(z)</tex> {k=0}^{x-1--} \left(a+\frac{b+k}{для комплексного <tex dpi=150>z</tex>.Значит, это тождество верно и для <tex dpi=150>z=x}\right)_{n</x}tex>,\ где <tex dpi=150>x \in \mathbb{Z}^{+} </tex> {{---}} вещественное число. То есть::<tex dpi=150>\Gamma(2xx+1)_{2n} = 2^{2n} (x)_n \leftGamma(x+\frac)</tex> {{1---}{2}\right)_n. для вещественного <tex dpi=150>x</tex>.Заметим тогда, что:

<tex dpi=150>\Gamma(x+1) =Альтернативные формы записиx\cdot\Gamma(x) =x(x-1)\cdot\Gamma(x-1)</tex> :<tex dpi=150>= \cdots = x(x-1)\cdots(x-n+1)\cdot\Gamma(x-n+1)</tex>

Альтернативная форма записи растущего факториалаЗначит::<tex>x^{\overline{m}}=\overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}\qquad\mbox{for integer }m\ge0,</tex>а убывающего факториала::<tex>x^{\underline{m}}=\overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m~\mathrm{factors}}\qquad\mbox{for integer }m\ge0;</tex>использовались А. Капелли (1893) и Л. Тоскано (1939) соответственно.<ref>According to Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed., p. 50.</ref> Грахам, Кнут и Паташник<ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik in their book ''Concrete Mathematics'' (1988), Addison-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, pp.&nbsp;47,48</ref> предложили произносить эти записи как "<tex>x</tex> растущий к <tex>m</tex>" и "<tex>x</tex> убывающий к <tex>m</tex>" соответственно.

Другие формы записи убывающего факториала: <texdpi=150>P\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)} = \frac{x(x-1)\cdots(x,-n+1)</tex>, <tex>^\cdot\Gamma(x P_n</tex>, ,<tex>P_-n+1)}{\Gamma(x,-n+1)}</tex> или :<texdpi=150>_x P_n= x(x-1)\cdots(x-n+1) = (x)_n</tex>.}}

Другое обозначение растущего факториала ===Дифференциал==={{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<texdpi=150>\frac{\partial^n(x^a)}{\partial x^n} = (a)_n\,\, x^{a-n)}</tex> реже встречается, чем |proof=<texdpi=150>\frac{\partial^n(x^a)}{\partial x^n} =a\times\frac{\partial^{n-1}(x^{a-1})}{\partial x^{n-1}}=a(a-1)\times\frac{\partial^+_n</tex>. Обозначение <tex>{n-2}(x^{a-2})}{\partial x^+_n{n-2}}</tex> используется для растущего факториала, запись :<texdpi=150>=a(a-1)\cdots (a-n+2)\times\frac{\partial(x^{a-(n-1)})}{\partial x}=(a)_n\,\, x^{a-_nn}</tex> обычно применяется для обозначения убывающего факториала для избежания недоразумений.<ref name=Knuth />}}

Обобщенный Существует обобщённый символ Похгаммера называется [<ref>[https://en.wikipedia:.org/wiki/Generalized_Pochhammer_symbol Generalized Pochhammer symbol|обобщённый символ Похгаммера]]</ref>, используемый в многомерном математическом анализе. Также существует <tex>q</tex>-аналог<ref>[[https://en.wikipedia:q.org/wiki/Q-Pochhammer symbol|analog ''q''-аналог]analog] </ref> {{---}} <tex>q</tex>-Похгаммер символ<ref>[[https://en.wikipedia:q.org/wiki/Q-Pochhammer symbol|Pochhammer_symbol ''q''-Похгаммер символ]Pochhammer symbol]</ref>.

Обобщение убывающего факториала, в которой {{---}} функция вычисляется по нисходящей арифметической последовательности целых чисел, а значения перемножаются какопределённая следующим образом:

:<texdpi=150>[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),</tex>

где :<tex>-h</tex> декремент и :<tex>k</tex> {{---}} разница в убывающей арифметической прогрессии аргументов множителей и число факторовмножителей соответственно. Соответствующее обобщения Аналогичное обобщение растущего факториала:

:<texdpi=150>[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).</tex>

Эта запись объединяет растущий и убывающий факториалы, которые <tex dpi=150>[''x'']<sup>''^{k''/1}]</suptex> и <tex dpi=150> and [''x'']<sup>''^{k''/&minus;-1}]</suptex> соответственно.

Для арифметической функции <tex>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}</tex> и параметров <tex>x, t</tex> определен определено обобщенное факториальное произведение вида:

:<texdpi=150>(x)_{n,f,t} := \prod_prod\limits_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</tex>