Изменения

:<tex>(x)_{n}=x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\prod_prod\limits_{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod_prod\limits_{k=0}^{n-1}(x-k)</tex>При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).

:<tex>x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod_prod\limits_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod_prod\limits_{k=0}^{n-1}(x+k). </tex>При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).

При Грахам, Кнут и Паташник<ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik in their book ''Concrete Mathematics'' (<tex>1988</tex>), Addison-Wesley, Reading MA. ISBN <tex>0-201-14236-8</tex>, pp.&nbsp;<tex>47</tex>,<tex>48</tex></ref> предложили произносить эти записи как "<tex>x</tex> растущий к <tex>m</tex>" и "<tex>x</tex> убывающий к <tex>m</tex>" соответственно. В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал. Когда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, <tex>(x)_n</tex> равняется числу инъективных отображений<ref name="Injective function">[https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function Injective function]</ref> из множества с <tex>n=0</tex> значение принимается равным элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и <tex>P(x,n)</tex>. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где <tex>1x</tex> {{---}} переменная, то есть <tex> (пустое произведениеx)_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>n</tex> от <tex>x</tex>.

В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал. Сам Лео Август Похгаммер для себя использовал <texb>(x)^nЗамечание</texb> в другом смысле - для обозначения биномиального коэффициента <tex>\tbinom xn</tex>.

Когда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, <tex>(x)_n</tex> равняется числу [httpsДругие формы записи убывающего факториала://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function инъективных отображений] из множества с <tex>n</tex> элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и <tex>P(x,n)</tex>. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где <tex>^xP_n</tex> {{---}} переменная, то есть ,<tex>(P_{x)_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>,n}</tex> от или <tex>x_x P_n</tex>.

[[File:RisingFactorialPlotThePochhammerSymbolExample_02.gifpng|401px|thumb|upright|График растущего убывающего факториала для <tex>n </tex> от <tex>0 </tex> до <tex>4</tex>]]

:<tex dpi=150>\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n} \quad\mbox{and}\quad </tex> и <tex dpi=150>\frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.</tex>

:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n ,</tex>

:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} .</tex>

Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения <tex dpi=150>n</tex>, но с использованием [[wikipedia:Gamma function|Гамма функции]] при условии, что <tex dpi=150>\frac{(x</tex> и <tex dpi)_n}{(x)_i} =150>(x+-i)_{n-i},\ n\geqslant i. </tex> вещественные числа, но не отрицательные целые:

Убывающий факториал возможно выразить следующим способом: :<tex dpi=150>(x^)_{m+n} = x_{m} (x-m)_{n}</tex>:<tex dpi=150>(x)_{-n}=\frac{1}{(x+1)(x+2) \Gammacdots (x+n)} = \frac{1}{(x+1)^n} = \Gammafrac{1}{(x+n)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}},</tex>

то же самое и про убывающий ====Числа Стирлинга первого рода====Растущий факториалвыражается с помощью [[Числа Стирлинга первого рода|чисел Стирлинга первого рода]]:

:<tex dpi=150>x^{(xn)_n} =\fracsum\limits_{\Gamma(x+k=1)}{\Gamma^n s(x-n+1,k)}.x^k</tex>

Если <tex dpi=150>D</tex> означает производную по <tex dpi=150>x</tex>, то==Числа Стирлинга второго рода====Убывающий и растущий факториалы выражаются друг через друга при помощи [[Числа Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]]:

:<tex dpi=150>Dx^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} (x^a) _{n-k} </tex>:<tex dpi=150> = (a)_n\,sum\, xlimits_{k=0}^{an} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k}.(x)_k </tex>

== Связывающие коэффициенты ==Числа Лаха====Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом числами Лаха<ref name="Lah numbers">[https://en.wikipedia.org/wiki/Lah_number Lah numbers]</ref>:{{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<tex dpi=150> x^{(n)} = \sum\limits_{k=1}^n (L(n,k) \times (x)_k) = \sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k) </tex>|proof=Второе равенство получается из определения чисел Лаха. Поэтому осталось доказать лишь то, что левая часть равняется правой::<tex dpi=150> x^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k) </tex>Подставим целое <tex dpi=150>m</tex> из отрезка <tex dpi=150>[0;n]</tex>, тогда получим::<tex dpi=150> m^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k) </tex>Заметим, что <tex dpi=150>(m)_k=0</tex> при <tex dpi=150>m+1 \leqslant k</tex>, поэтому слагаемые из суммы в правой части, начиная с <tex dpi=150>k\geqslant m+1</tex>, равны нулю, то есть::<tex dpi=150>\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k)=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k)</tex>Поделим обе части на <tex dpi=150>n!</tex> и тождества получим, что левая часть равна::<tex dpi=150>\frac{(n+m-1)!}{(m-1)!n!}=\frac{(n+m-1)!}{((n+m-1)-n)!n!}=\binom{n+m-1}{n}</tex>а правая часть будет равна:

Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом [[wikipedia:Lah number|числами Лаха]] и суммами для интегральных степеней переменной <tex dpi=150>x\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{1}{k!}\times\frac{m!}{(m-k)!})=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{m!}{k!(m-k)!})</tex> с привлечением [[Числа Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]] в следующих формах, в которых :<tex dpi=150>=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binomfrac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}\times\frac{rm!}{k!(m-k)!} )= \fracsum\limits_{rk=1}^{min(m,n)} (\underlinebinom{n-1}{k-1}}\times\binom{m}{k!})</tex>То есть мы хотим теперь доказать тождество::<ref nametex dpi="Introduction to the factorials and binomials"150>[http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/ Wolfram Functions Site \binom{n+m-1}{n}=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{n--k}\times\binom{m}{k} Introduction to the factorials and binomials])</reftex>

Это тождество очевидно из комбинаторики, так как обе части равны числу способов выбрать из <tex dpi=150> x^{\underline{n}} +m-1</tex> элементов, разделённых на два множества по <tex dpi=150>n-1</tex> и <tex dpi=150>m</tex> элементов, <tex dpi=150>n</tex> элементов. С одной стороны нельзя не признать, что это левая часть тождества по определению сочетания. С другой стороны нельзя не согласиться, что это правая часть тождества, в котором <tex dpi= \sum_{150>k</tex> означает количество элементов, берущихся из множества размера <tex dpi=150>m</tex>, а <tex dpi=1}^150>n \binom{-k</tex> из второго множества размера <tex dpi=150>n-1}{k-</tex>.Многочлены, стоящие в левой и правой частях тождества, оказались равны в <tex dpi=150>n+1} \frac{</tex> точке и при этом имеют степень не больше <tex dpi=150>n!}{k!} \times (x)_k </tex>, то есть они формально совпадают.}}

===Гамма функция===Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения <tex dpi=150> x^{\underline{n}} </tex>, но с использованием Гамма функции<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function Gamma function]</ref> при условии, что <tex dpi= (-1)^n (-150>x)^n </tex> и <tex dpi= (150>x-+n+1)_n </tex>вещественные числа, но не отрицательные целые.

{{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<tex dpi=150> (x)_n = \sum_{k=0}^{(n)} =\binomfrac{n}{k} \Gamma(x+n-1)^}{\underline{n-k}} \times Gamma(x^{\underline{k})} </tex>|proof=:<tex dpi=150> = \Gamma(-z+1)^n (-x)^n = z\Gamma(x+n-1z)^</tex> {\underline{n---}} для комплексного <tex dpi=150>z</tex>.:Значит, это тождество верно и для <tex dpi=150> z= \binom{-x}{n} (-1)^n n! </tex>, где <tex dpi=150>x</tex> {{---}} вещественное число. То есть::<tex dpi=150> \Gamma(x) = (x-1)\binom{Gamma(x+n-1)</tex> {{---}{n} n! для вещественного <tex dpi=150>x</tex>.Заметим тогда, что:

<tex dpi=150> \Gamma(x^+n ) = \sum_{k=0}^{((x+n} )-1)\leftcdot\{\begin{matrix} Gamma((x+n)-1) = ((x+n \\ )-1)(x+n-k 2)\end{matrix} cdot\right\} Gamma((x^{\underline{+n)-k}} 2)</tex>:<tex dpi=150> = \sum_{kcdots =0}^{((x+n)-1)((x+n} )-2)\leftcdots((x+n)-n)\{cdot\begin{matrix} Gamma((x+n)-n \\ k \end{matrix} \right\})</tex>:<tex dpi=150>= ((x+n)-1)^{((x+n)-k} 2)\cdots x\cdot\Gamma(x)_k. </tex>

Так как убывающие факториалы {{---}} базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториаловЗначит:

:<tex dpi=150>\frac{\Gamma(x+n)_m }{\Gamma(x)_n } = \sum_frac{k=0}^m {m ((x+n)-1)((x+n)-2)\cdots x\cdot\choose kGamma(x)} {n \choose k} k!\, Gamma(x)_{m+n-k}.</tex>{{Определение|definition=Коэффициенты :<tex dpi=150>= (x+n-1)(x+n-2)\cdots x = x(x+1)_{m\cdots(x+n-k1)=x^{(n)}</tex> называются ''' связывающими коэффициентами''' (англ. ''connection coefficients'').

Отношение двух символов Похгаммера определяется както же самое и про убывающий факториал: :<tex dpi=150>\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x+i)_{n-i},\ n \geqslant i. </tex>

Кроме того, мы можем развернуть экспоненты и убывающие факториалы как: {{Утверждение|id= |author= |about=:|statement=<tex dpi=150>(x^)_n=\frac{\underline{mGamma(x+n}1)} = x^{\underline{m}} Gamma(x-mn+1)^{\underline{n}}</tex>|proof=:<tex dpi=150>\Gamma(z+1) = z\Gamma(xz)_</tex> {m+n{---}} для комплексного <tex dpi= (x)_m (x+m)_n150>z</tex>.:Значит, это тождество верно и для <tex dpi=150>(x)_{-n} z= \frac{1}{(x-n)_n} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{n}}}</tex> :, где <tex dpi=150>x^</tex> {\underline{-n--}} вещественное число. То есть::<tex dpi= 150>\frac{1}{Gamma(x+1)_n} = x\frac{1}Gamma(x)</tex> {n! \binom{x+n}{n---}} для вещественного <tex dpi= \frac{1}{(x+1)(150>x+2) \cdots (x+n)}</tex>.Заметим тогда, что:

Наконец, по [[wikipedia:Multiplication theorem|теореме об умножении]] получаем следующие выражения для растущего факториала<tex dpi=150>\Gamma(x+1) = x\cdot\Gamma(x) = x(x-1)\cdot\Gamma(x-1)</tex> :<tex dpi=150>= \cdots = x(x-1)\cdots(x-n+1)\cdot\Gamma(x-n+1)</tex>

Значит:<tex dpi=150>(x)_{k+mn} = (x)_k m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+j+k}{m}\right)_n,\ m \in \mathbb{N} </tex> :<tex dpi=150>(ax+b)_n = x^n \prod_{k=0}^{x-1} \left(a+\frac{b+k}{x}\right)_{n/x},\ x \in \mathbb{Z}^{+} </tex> :<tex dpi=150>(2x)_{2n} = 2^{2n} (x)_n \left(x+\frac{1}{2}\right)_n. </tex>

<tex dpi=150>\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)} =Альтернативные формы записи\frac{x(x-1)\cdots(x-n+1)\cdot\Gamma(x-n+1)}{\Gamma(x-n+1)}</tex>:<tex dpi=150>=x(x-1)\cdots(x-n+1) = (x)_n</tex>}}

Альтернативная форма записи растущего факториала:===Дифференциал==={{Утверждение|id= |author=|about=:|statement=<texdpi=150>x^{\overlinefrac{m}}=\overbrace{xpartial^n(x+1^a)}{\ldots(partial x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}n}= (a)_n\qquad,\mbox, x^{for integer a-n}m\geqslant0,</tex>а убывающего факториала:|proof=:<texdpi=150>\frac{\partial^n(x^a)}{\underline{m}partial x^n}=a\overbracetimes\frac{x(x\partial^{n-1)\ldots}(x^{a-m+1})}^{m~\mathrmpartial x^{factorsn-1}}=a(a-1)\qquadtimes\mboxfrac{for integer \partial^{n-2}m\geqslant0;</tex>использовались А. Капелли (1893x^{a-2}) и Л. Тоскано (1939) соответственно.<ref name=Knuth>According to Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed., p. 50.</ref> Грахам, Кнут и Паташник<ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik in their book ''Concrete Mathematics'' (1988), Addison}{\partial x^{n-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, pp.&nbsp;47,482}}</ref> предложили произносить эти записи как "<tex>x</tex> растущий к <tex>m</tex>" и "<tex>x</tex> убывающий к <tex>m</tex>" соответственно. Другие формы записи убывающего факториала: <texdpi=150>P=a(x,a-1)\cdots (a-n+2)</tex>, <tex>^x P_n</tex>, ,<tex>P_\times\frac{x,n}</tex> или <tex>_x P_n</tex>. Другое обозначение растущего факториала <tex>\partial(x^{a-(n-1)}</tex> реже встречается, чем <tex>()}{\partial x)^+_n</tex>. Обозначение <tex>}=(xa)^+_n</tex> используется для растущего факториала\,\, запись <tex>(x)^{a-_nn}</tex> обычно применяется для обозначения убывающего факториала для избежания недоразумений.<ref name=Knuth />}}

Обобщенный Существует обобщённый символ Похгаммера называется <ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Pochhammer_symbol обобщённый символ ПохгаммераGeneralized Pochhammer symbol]</ref>, используемый в многомерном математическом анализе. Также существует <tex>q</tex>-аналог<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Q-analog ''q''-аналогanalog] </ref> {{---}} <tex>q</tex>-Похгаммер символ<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Q-Pochhammer_symbol ''q''-Похгаммер символPochhammer symbol]</ref>.

Обобщение убывающего факториала, в которой {{---}} функция вычисляется по нисходящей арифметической последовательности целых чисел, а значения перемножаются какопределённая следующим образом:

где <tex>-h</tex> декремент и <tex>k</tex> {{---}} разница в убывающей арифметической прогрессии аргументов множителей и число факторовмножителей соответственно. Соответствующее обобщения Аналогичное обобщение растущего факториала:

Для арифметической функции <tex>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}</tex> и параметров <tex>x, t</tex> определен определено обобщенное факториальное произведение вида:

:<tex dpi=150>(x)_{n,f,t} = \prod_prod\limits_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</tex>