Изменения

:<tex>(x)_{n}=x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\prod_prod\limits_{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod_prod\limits_{k=0}^{n-1}(x-k)</tex>При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).

:<tex>x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod_prod\limits_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod_prod\limits_{k=0}^{n-1}(x+k). </tex>При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).

При Грахам, Кнут и Паташник<ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik in their book ''Concrete Mathematics'' (<tex>1988</tex>), Addison-Wesley, Reading MA. ISBN <tex>0-201-14236-8</tex>, pp.&nbsp;<tex>47</tex>,<tex>48</tex></ref> предложили произносить эти записи как "<tex>x</tex> растущий к <tex>m</tex>" и "<tex>x</tex> убывающий к <tex>m</tex>" соответственно. В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал. Когда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, <tex>(x)_n</tex> равняется числу инъективных отображений<ref name="Injective function">[https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function Injective function]</ref> из множества с <tex>n=0</tex> значение принимается равным элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и <tex>P(x,n)</tex>. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где <tex>1x</tex> {{---}} переменная, то есть <tex> (пустое произведениеx)_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>n</tex> от <tex>x</tex>.

В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал. Сам Лео Август Похгаммер для себя использовал <texb>(x)^nЗамечание</texb> в другом смысле - для обозначения биномиального коэффициента <tex>\tbinom xn</tex>.

Когда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, <tex>(x)_n</tex> равняется числу [httpsДругие формы записи убывающего факториала://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function инъективных отображений] из множества с <tex>n</tex> элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и <tex>P(x,n)</tex>. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где <tex>^xP_n</tex> {{---}} переменная, то есть ,<tex>(P_{x)_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>,n}</tex> от или <tex>x_x P_n</tex>.

[[File:RisingFactorialPlotThePochhammerSymbolExample_02.gifpng|401px|thumb|upright|График растущего убывающего факториала для <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>4</tex>]]

:<tex dpi=150>\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n} \quad\mbox{and}\quad </tex> и <tex dpi=150>\frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.</tex>

:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n ,</tex>

:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} .</tex>

Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения <tex dpi=150>n</tex>, но с использованием [[wikipedia:Gamma function|Гамма функции]] при условии, что <tex dpi=150>\frac{(x</tex> и <tex dpi)_n}{(x)_i} =150>(x+-i)_{n-i},\ n\geqslant i. </tex> вещественные числа, но не отрицательные целые:

|statement=<tex dpi=150>x^{(n)}=\fracsum\limits_{k=1}^n (L(n,k) \Gammatimes (x+)_k) = \sum\limits_{k=1}^n)(\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \Gammatimes (x)}_k) </tex>

Второе равенство получается из определения чисел Лаха. Поэтому осталось доказать лишь то, что левая часть равняется правой::<tex dpi=150>\Gammax^{(xn) } = x\sum\limits_{k=1}^n (x\binom{n-1)(x}{k-2)1} \cdotsfrac{n!}{k!} \{times (x\})_k) </tex>Подставим целое <tex dpi=150>m</tex> из отрезка <tex dpi=150>[0;n]</tex> {{---}} по определению. Значит,тогда получим: :<tex dpi=150>\Gammam^{(x+n) } =\sum\limits_{k= 1}^n (x+\binom{n-1)(x+n}{k-2)(x+n-3)\cdots1} \frac{x+n!}{k!} \}times (m)_k) </tex>:Заметим, что <tex dpi=150>(m)_k=0</tex> при <tex dpi=(x150>m+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdotsleqslant k</tex>, поэтому слагаемые из суммы в правой части, начиная с <tex dpi=150>k\{x\}geqslant m+1</tex>, равны нулю, то есть: :<tex dpi=150>\Gamma(x) sum\limits_{k= 1}^n (x\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k)=\sum\limits_{k=1}^{min(x-2m,n)} (x\binom{n-3)\cdots\1}{xk-1} \frac{n!}{k!}\times (m)_k)</tex>Поделим обе части на <tex dpi=150>n!</tex>и получим, что левая часть равна::<tex dpi=150>\frac{(n+m-1)!}{(m-1)!n!}=\frac{(xn+m-1)!}{(x(n+m-21)(x-3n)!n!}=\cdots\binom{n+m-1}{x\n}</tex>а правая часть будет равна:

Объединив эти два факта<tex dpi=150>\sum\limits_{k=1}^{min(m, получимn)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{1}{k!}\times\frac{m!}{(m-k)!})=\sum\limits_{k=1}^{min(m, чтоn)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{m!}{k!(m-k)!})</tex>:<tex dpi=150>=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}\times\frac{m!}{k!(m-k)!})=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{k-1}\times\binom{m}{k})</tex>То есть мы хотим теперь доказать тождество::<tex dpi=150>\binom{n+m-1}{n}=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{n-k}\times\binom{m}{k})</tex>

Это тождество очевидно из комбинаторики, так как обе части равны числу способов выбрать из <tex dpi=150>\frac{\Gamma(xn+1)}{\Gamma(xm-n+1)}</tex> элементов, разделённых на два множества по <tex dpi=\frac{(x+150>n-1)(x+</tex> и <tex dpi=150>m</tex> элементов, <tex dpi=150>n</tex> элементов. С одной стороны нельзя не признать, что это левая часть тождества по определению сочетания. С другой стороны нельзя не согласиться, что это правая часть тождества, в котором <tex dpi=150>k</tex> означает количество элементов, берущихся из множества размера <tex dpi=150>m</tex>, а <tex dpi=150>n-2)(x+k</tex> из второго множества размера <tex dpi=150>n-3)\cdots\{x\}}{(x-1)(x-2)(x-3)\cdots\{x\}}</tex>.:Многочлены, стоящие в левой и правой частях тождества, оказались равны в <tex dpi=150>=(xn+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots(x)</tex> точке и при этом имеют степень не больше <tex dpi=(x)^{(150>n)}</tex>, что и требовалось доказатьто есть они формально совпадают.

то же самое и про убывающий ===Гамма функция===Растущий факториалможет быть продолжен на вещественные значения <tex dpi=150>n</tex>, но с использованием Гамма функции<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function Gamma function]</ref> при условии, что <tex dpi=150>x</tex> и <tex dpi=150>x+n</tex> вещественные числа, но не отрицательные целые.

|statement=<tex dpi=150>x^{(xn)_n}=\frac{\Gamma(x+1n)}{\Gamma(x-n+1)}</tex>

:<tex dpi=150>\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)</tex> {{---}} для комплексного <tex dpi=150>z</tex>.Значит, это тождество верно и для <tex dpi=150>z=x</tex>, где <tex dpi=150>x</tex> {{---}} вещественное число. То есть::<tex dpi=150>\Gamma(x) = x(x-1)\Gamma(x-21)\cdots\{x\}</tex> {{---}} по определениюдля вещественного <tex dpi=150>x</tex>. ЗначитЗаметим тогда,что:

<tex dpi=150>\Gamma(x+n) = ((x+n)-1)\cdot\Gamma((x+n)-1) = ((x+n)-1)(x+n-2)\cdot\Gamma((x+n)-2)</tex> :<tex dpi=150>= \cdots = ((x+n)-1)((x+n)-2)\cdots((x+n)-n)\cdot\Gamma((x+n)-n)</tex>:<tex dpi=150>= ((x+n)-1)((x+n)-2)\{cdots x\}cdot\Gamma(x)</tex>

<tex dpi=150>\Gamma(x-n+1) = (x-n+1)(x-n-2)(x-n-3)\cdots\{x-n+1\}</tex>Значит:<tex dpi=150>=(x-n+1)(x-n-2)(x-n-3)\cdots\{x\}</tex>

Объединив эти два факта, получим, что: <tex dpi=150>\frac{\Gamma(x+1n)}{\Gamma(x-n+1)}=\frac{x((x+n)-1)((x+n)-2)\cdotsx\{xcdot\}}{Gamma(x-n+1)(x-n-2)}{\Gamma(x-n-3)\cdots\{x\}}</tex>:<tex dpi=150>=x(x+n-1)(x+n-2)\cdots x = x(x+1)\cdots(x+n-n+1)=x^{(xn)_n}</tex>, что и требовалось доказать.

Если <tex dpi=150>D</tex> означает производную по <tex dpi=150>x</tex>, тоже самое и про убывающий факториал:

:{{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<tex dpi=150>D^n(x^a) _n= \frac{\Gamma(ax+1)_n}{\Gamma(x-n+1)}</tex>|proof=:<tex dpi=150>\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)</tex> {{---}} для комплексного <tex dpi=150>z</tex>.Значит,\это тождество верно и для <tex dpi=150>z=x</tex>, где <tex dpi=150>x^</tex> {{a-n--}}вещественное число.То есть::<tex dpi=150>\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)</tex> {{---}} для вещественного <tex dpi=150>x</tex>.Заметим тогда, что:

<tex dpi=150>\Gamma(x+1) = Связывающие коэффициенты и тождества x\cdot\Gamma(x) =x(x-1)\cdot\Gamma(x-1)</tex> :<tex dpi=150>= \cdots = x(x-1)\cdots(x-n+1)\cdot\Gamma(x-n+1)</tex>

Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом [[wikipediaЗначит:Lah number|числами Лаха]] и суммами для интегральных степеней переменной <tex dpi=150>x</tex> с привлечением [[Числа Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]] в следующих формах, в которых <tex dpi=150>\binom{r}{k} = \frac{r^{\underline{k}}}{k!}</tex>:<ref name="Introduction to the factorials and binomials">[http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/ Wolfram Functions Site {{---}} Introduction to the factorials and binomials]</ref>

<tex dpi=150> \frac{\Gamma(x^+1)}{\underline{Gamma(x-n}+1)} = \sum_frac{k=x(x-1}^)\cdots(x-n +1)\cdot\binom{Gamma(x-n-+1)}{k\Gamma(x-n+1)} </tex>:<tex dpi=150>= x(x-1)\frac{cdots(x-n!}{k!} \times +1) = (x)_k _n</tex>}}

===Дифференциал==={{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<tex dpi=150> x^\frac{\underline{n}} = (-1)partial^n (-x^a)}{\partial x^n } = (a)_n\,\, x^{a-n+1)_n }</tex>|proof=<tex dpi=150> (x)_n = \sum_frac{k=0}\partial^{n} \binom{n}{k} (n-1x^a)^}{\underline{partial x^n-k}} =a\times x^\frac{\underlinepartial^{k}} </tex>:<tex dpi=150> = (n-1)^n }(-x)^n = (x+n{a-1})^}{\underlinepartial x^{n-1}} </tex>:<tex dpi=150> = \binom{-x}{n} a(a-1)\times\frac{\partial^n n! </tex>:<tex dpi=150> = \binom{x+n-12}{n} n! </tex> <tex dpi=150> (x^n = \sum_{k=0a-2}^{n} \left\{\begin{matrix)} n \\ n-k \end{matrix} \right\} partial x^{\underline{n-k2}} </tex>:<tex dpi=150> = a(a-1)\sum_{k=0}^{cdots (a-n} +2)\lefttimes\frac{\beginpartial(x^{matrix} a-(n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k. </tex> Так как убывающие факториалы }{{---\partial x}} базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов: :<tex dpi=150>(x)_m (xa)_n = \sum_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!,\, (x)_^{m+na-k}.</tex>{{Определение|definition=Коэффициенты <tex dpi=150>(x)_{m+n-k}</tex> называются ''' связывающими коэффициентами''' (англ. ''connection coefficients'').

Обобщенный Существует обобщённый символ Похгаммера называется <ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Pochhammer_symbol обобщённый символ ПохгаммераGeneralized Pochhammer symbol]</ref>, используемый в многомерном математическом анализе. Также существует <tex>q</tex>-аналог<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Q-analog ''q''-аналогanalog] </ref> {{---}} <tex>q</tex>-Похгаммер символ<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Q-Pochhammer_symbol ''q''-Похгаммер символPochhammer symbol]</ref>.

Обобщение убывающего факториала, в которой {{---}} функция вычисляется по нисходящей арифметической последовательности целых чисел, а значения перемножаются какопределённая следующим образом:

где <tex>-h</tex> декремент и <tex>k</tex> {{---}} разница в убывающей арифметической прогрессии аргументов множителей и число факторовмножителей соответственно. Соответствующее обобщения Аналогичное обобщение растущего факториала:

Для арифметической функции <tex>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}</tex> и параметров <tex>x, t</tex> определен определено обобщенное факториальное произведение вида:

:<tex dpi=150>(x)_{n,f,t} = \prod_prod\limits_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</tex>