1632
правки
Изменения
м
При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение)В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал.
В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториалКогда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, так <tex>(x)_n</tex> равняется числу инъективных отображений<ref name="Injective function">[https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function Injective function]</ref> из множества с <tex>n</tex> элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и убывающий факториал<tex>P(x,n)</tex>. Сам Лео Август Похгаммер для себя использовал Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где <tex>x</tex> {{---}} переменная, то есть <tex>(x)^_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>n</tex> в другом смысле - для обозначения биномиального коэффициента от <tex>\tbinom xnx</tex>.
Когда <texb>xЗамечание</texb> неотрицательное целое число, <tex>(x)_n</tex> равняется числу [https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function инъективных отображений] из множества с <tex>n</tex> элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и <tex>P(x,n)</tex>. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где <tex>x</tex> {{---}} переменная, то есть <tex>(x)_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>n</tex> от <tex>x</tex>.
По [[wikipedia:Multiplication theorem|теореме об умножении]] получаем следующие выражения для растущего факториала: :<tex dpi=150>(x)_{k+mn} = (x)_k m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+j+k}{m}\right)_n,\ m \in \mathbb{N} </tex> :<tex dpiКоэффициенты связи=150>(ax+b)_n = x^n \prod_{k=0}^{x-1} \left(a+\frac{b+k}{x}\right)_{n/x},\ x \in \mathbb{Z}^{+} </tex> :<tex dpi=150>(2x)_{2n} = 2^{2n} (x)_n \left(x+\frac{1}{2}\right)_n. </tex>
<ref name="Introduction to the factorials and binomials">[http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/ Wolfram Functions Site {{---}} Introduction to the factorials and binomials]</ref>
Отношение двух символов Похгаммера определяется как====Числа Лаха====Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом числами Лаха<ref name="Lah numbers">[https://en.wikipedia.org/wiki/Lah_number Lah numbers]</ref>:{{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<tex dpi=150> x^{(n)} = \sum\limits_{k=1}^n (L(n,k) \times (x)_k) = \sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k) </tex>|proof=Второе равенство получается из определения чисел Лаха. Поэтому осталось доказать лишь то, что левая часть равняется правой::<tex dpi=150> x^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k) </tex>Подставим целое <tex dpi=150>m</tex> из отрезка <tex dpi=150>[0;n]</tex>, тогда получим::<tex dpi=150> m^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k) </tex>Заметим, что <tex dpi=150>(m)_k=0</tex> при <tex dpi=150>m+1 \leqslant k</tex>, поэтому слагаемые из суммы в правой части, начиная с <tex dpi=150>k\geqslant m+1</tex>, равны нулю, то есть::<tex dpi=150>\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k)=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k)</tex>Поделим обе части на <tex dpi=150>n!</tex> и получим, что левая часть равна::<tex dpi=150>\frac{(n+m-1)!}{(m-1)!n!}=\frac{(n+m-1)!}{((n+m-1)-n)!n!}=\binom{n+m-1}{n}</tex>а правая часть будет равна:
Кроме тогоЭто тождество очевидно из комбинаторики, мы можем развернуть экспоненты и убывающие факториалы так как: :обе части равны числу способов выбрать из <tex dpi=150>x^{\underline{mn+n}} = x^{\underline{m}} (x-m)^{\underline{1</tex> элементов, разделённых на два множества по <tex dpi=150>n}}-1</tex>:и <tex dpi=150>(x)_{m+</tex> элементов, <tex dpi=150>n} </tex> элементов. С одной стороны нельзя не признать, что это левая часть тождества по определению сочетания. С другой стороны нельзя не согласиться, что это правая часть тождества, в котором <tex dpi=150>k</tex> означает количество элементов, берущихся из множества размера <tex dpi= (x)_m (x+150>m)_n</tex>:, а <tex dpi=150>(x)_{n-n} k</tex> из второго множества размера <tex dpi= \frac{1}{(x-150>n)_n} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{n}}}</tex> .:Многочлены, стоящие в левой и правой частях тождества, оказались равны в <tex dpi=150>x^{\underline{-n}} = \frac{1}{(x+1)_n} </tex> точке и при этом имеют степень не больше <tex dpi= \frac{1}{n! \binom{x+150>n}{n}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)}</tex>, то есть они формально совпадают.}}
Объединив эти два факта, получим, чтоЗначит:
<tex dpi=150>\Gamma(x-n+1) = (x-n+1)(x-n-2)(x-n-3)\cdots\{x-n+1\}</tex>Значит:<tex dpi=150>=(x-n+1)(x-n-2)(x-n-3)\cdots\{x\}</tex>
Объединив эти два факта, получим, что: <tex dpi=150>\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}=\frac{x(x-1)(x-2)\cdots\{x\}}{(x-n+1)\cdot\Gamma(x-n-2+1)}{\Gamma(x-n-3+1)\cdots\{x\}}</tex>:<tex dpi=150>=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=(x)_n</tex>, что и требовалось доказать.
Если {{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<tex dpi=150>D\frac{\partial^n(x^a)}{\partial x^n} = (a)_n\,\, x^{a-n}</tex> означает производную по |proof=<tex dpi=150>\frac{\partial^n(x^a)}{\partial x^n} =a\times\frac{\partial^{n-1}(x^{a-1})}{\partial x^{n-1}}=a(a-1)\times\frac{\partial^{n-2}(x^{a-2})}{\partial x^{n-2}}</tex>, то :<tex dpi=150>D^=a(a-1)\cdots (a-n+2)\times\frac{\partial(x^{a-(n-1) })}{\partial x}= (a)_n\,\, x^{a-n}.</tex>}}
Обобщенный Существует обобщённый символ Похгаммера называется <ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Pochhammer_symbol обобщённый символ ПохгаммераGeneralized Pochhammer symbol]</ref>, используемый в многомерном математическом анализе. Также существует <tex>q</tex>-аналог<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Q-analog ''q''-аналогanalog] </ref> {{---}} <tex>q</tex>-Похгаммер символ<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Q-Pochhammer_symbol ''q''-Похгаммер символPochhammer symbol]</ref>.
*[[wikipedia:Gamma function|Гамма функция]]
*[[wikipedia:Injective function|Инъективное отображение]]
*[[wikipedia:Generalized Pochhammer symbol|Обобщённый символ Похгаммера]]
*[[wikipedia:q-Pochhammer symbol|''q''-Похгаммер символ]]
*[[wikipedia:Lah number|Числа Лаха]]
*[[wikipedia:Multiplication theorem|Теорема об умножении]]
*[[wikipedia:q-analog|''q''-аналог]]
rollbackEdits.php mass rollback
|definition=
В математике '''убывающим факториалом''' (англ. ''falling factorial'') (иногда называется '''нисходящим факториалом''', '''постепенно убывающим факториалом''' или '''нижним факториалом''') обозначают:
:<tex>(x)_{n}=x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\prod_prod\limits_{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod_prod\limits_{k=0}^{n-1}(x-k)</tex>При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).
}}
{{Определение
|definition=
'''Растущий факториал''' (англ. ''rising factorial'') (иногда называется '''функцией Похгаммера''', '''многочленом Похгаммера''', '''восходящим факториалом''', '''постепенно растущим произведением''' или '''верхним факториалом''') определяется следующей формулой:
:<tex>x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod_prod\limits_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod_prod\limits_{k=0}^{n-1}(x+k). </tex>При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).
}}
Грахам, Кнут и Паташник<ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik in their book ''Concrete Mathematics'' (<tex>1988</tex>), Addison-Wesley, Reading MA. ISBN <tex>0-201-14236-8</tex>, pp. <tex>47</tex>,<tex>48</tex></ref> предложили произносить эти записи как "<tex>x</tex> растущий к <tex>m</tex>" и "<tex>x</tex> убывающий к <tex>m</tex>" соответственно.
Другие формы записи убывающего факториала: <tex>P(x,n)</tex>, <tex>^x P_n</tex>, ,<tex>P_{x,n}</tex> или <tex>_x P_n</tex>.
Другое обозначение растущего факториала <tex>x^{(n)}</tex> реже встречается, чем <tex>(x)^+_n</tex>. Обозначение <tex>(x)^+_n</tex> используется для растущего факториала, запись <tex>(x)^-_n</tex> обычно применяется для обозначения убывающего факториала для избежания недоразумений.<ref name=Knuth>According to Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. <tex>1</tex>, <tex>3</tex>rd ed., p. <tex>50</tex>.</ref>
[[File:RisingFactorial_3.jpg|401px|thumb|upright|График растущего факториала для <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>4</tex>]]
==Примеры==
[[File:RisingFactorialPlotThePochhammerSymbolExample_02.gifpng|401px|thumb|upright|График растущего убывающего факториала для <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>4</tex>]]
Несколько первых растущих факториалов:
:<tex>x^{(0)}=x^{\overline0}=1 </tex>
Убывающий и растущий факториалы определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно, <tex dpi=150>x</tex> может быть даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах.
Так как убывающие факториалы {{---}} базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов:
:<tex dpi=150>(x)_m (x)_n = \sum_sum\limits_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!\, (x)_{m+n-k}.</tex>
{{Определение
|definition=
Коэффициенты <tex dpi=150>{m \choose k} {n \choose k} k!</tex>, стоящие при <tex dpi=150>(x)_{m+n-k}</tex> , называются ''' связывающими коэффициентамисвязи''' (англ. ''connection coefficients''). Связывающие коэффициенты имеют комбинаторную интерпретацию как число способов объединить <tex dpi=150>k</tex> элементов из множеств размера <tex dpi=150>m</tex> и <tex dpi=150>n</tex>.
}}
===Биномиальный коэффициент===
Растущий и убывающий факториалы могут быть использованы для обозначения биномиального коэффициента:
:<tex dpi=150>\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n} \quad\mbox{and}\quad </tex> и <tex dpi=150>\frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.</tex>
Таким образом, многие свойства биномиальных коэффициентов справедливы для убывающих и растущих факториалов.
Растущий факториал может быть выражен как убывающий факториал, начинающийся с другого конца,
:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n ,</tex>
или как убывающий с противоположным аргументом,
:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} </tex> Отношение двух символов Похгаммера можно выразить следующим образом: :<tex dpi=150>\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x-i)_{n-i},\ n \geqslant i.</tex> Убывающий факториал возможно выразить следующим способом: :<tex dpi=150>(x)_{m+n} = x_{m} (x-m)_{n}</tex>:<tex dpi=150>(x)_{-n} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)} = \frac{1}{(x+1)^n} = \frac{1}{(x+n)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}}</tex> ====Числа Стирлинга первого рода====Растущий факториал выражается с помощью [[Числа Стирлинга первого рода|чисел Стирлинга первого рода]]: :<tex dpi=150>x^{(n)} = \sum\limits_{k=1}^n s(n,k) x^k</tex>
====Числа Стирлинга второго рода====
Убывающий и растущий факториалы выражаются друг через друга при помощи [[Числа Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]]:
<tex dpi=150> x^{(n )} = \sum_sum\limits_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} (x^{\underline)_{n-k}} </tex>:<tex dpi=150> = \sum_sum\limits_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k. </tex>
<tex dpi=150>\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{1}{k!}\times\frac{m!}{(m-k)!})=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{m!}{k!(m-k)!})</tex>:<tex dpi=150>=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(xn-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))_n!}\times\frac{m!}{k!(xm-k)_i!} )= \sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (x\binom{n-i1}{k-1}\times\binom{m}{k})_</tex>То есть мы хотим теперь доказать тождество::<tex dpi=150>\binom{n+m-i1}{n}=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\ binom{n-1}{n -k}\times\geqslant i. binom{m}{k})</tex>
===Гамма функция===
Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения <tex dpi=150>n</tex>, но с использованием Гамма функции<ref>[[https://en.wikipedia:.org/wiki/Gamma_function Gamma function|Гамма функции]] </ref> при условии, что <tex dpi=150>x</tex> и <tex dpi=150>x+n</tex> вещественные числа, но не отрицательные целые.
{{Утверждение
|statement=<tex dpi=150>x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}</tex>
|proof=
:<tex dpi=150>\Gamma(xz+1) = xz\Gamma(x-1z)(x-2)\cdots\{x\}</tex> {{---}} по определениюдля комплексного <tex dpi=150>z</tex>. Значит, это тождество верно и для <tex dpi=150>\Gamma(z=x+n) </tex>, где <tex dpi= (150>x+n</tex> {{-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots\{x+n\}</tex>} вещественное число. То есть::<tex dpi=150>=\Gamma(x+n-1)= (x+n-21)\Gamma(x+n-31)\cdots\</tex> {{---}} для вещественного <tex dpi=150>x\}</tex>.Заметим тогда, что:
<tex dpi=150>\Gamma(x+n) = ((x+n)-1)\cdot\Gamma((x+n)-21) = ((x+n)-1)(x+n-32)\cdotscdot\{Gamma((x+n)-1\}2)</tex>:<tex dpi=150>= \cdots =((x+n)-1)((x+n)-2)\cdots((x+n)-n)\cdot\Gamma((x+n)-n)</tex>:<tex dpi=150>= ((x+n)-1)((x+n)-32)\cdotsx\{cdot\Gamma(x\})</tex>
<tex dpi=150>\frac{\Gamma(x+1n)}{\Gamma(x-n+1)}=\frac{((x+n)-1)((x+n)-2)(x+n-3)\cdotsx\{xcdot\}}{Gamma(x-1)(x-2)}{\Gamma(x-3)\cdots\{x\}}</tex>:<tex dpi=150>=(x+n-1)(x+n-2)\cdots x = x(x+n-31)\cdots(x+n-1)=x^{(n)}</tex>, что и требовалось доказать.
}}
|statement=<tex dpi=150>(x)_n=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}</tex>
|proof=
:<tex dpi=150>\Gamma(xz+1) = z\Gamma(z) </tex> {{---}} для комплексного <tex dpi=150>z</tex>.Значит, это тождество верно и для <tex dpi=150>z= x</tex>, где <tex dpi=150>x</tex> {{---}} вещественное число. То есть::<tex dpi=150>\Gamma(x-+1)= x\Gamma(x-2)\cdots\{x\}</tex> {{---}} по определениюдля вещественного <tex dpi=150>x</tex>. ЗначитЗаметим тогда,что:
<tex dpi=150>\Gamma(x+1) = x\cdot\Gamma(x) = x(x-1)\cdot\Gamma(x-21)</tex> :<tex dpi=150>= \cdots= x(x-1)\{cdots(x-n+1)\}cdot\Gamma(x-n+1)</tex>
}}
===Дифференциал===
==Обобщения==
Обобщение убывающего факториала, в которой {{---}} функция вычисляется по нисходящей арифметической последовательности целых чисел, а значения перемножаются какопределённая следующим образом:
:<tex dpi=150>[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),</tex>
где <tex>-h</tex> декремент и <tex>k</tex> {{---}} разница в убывающей арифметической прогрессии аргументов множителей и число факторовмножителей соответственно. Соответствующее обобщения Аналогичное обобщение растущего факториала:
:<tex dpi=150>[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).</tex>
Эта запись объединяет растущий и убывающий факториалы, которые <tex dpi=150>[x^{k/1}]</tex> и <tex dpi=150>[x^{k/-1}]</tex> соответственно.
Для арифметической функции <tex>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}</tex> и параметров <tex>x, t</tex> определен определено обобщенное факториальное произведение вида:
:<tex dpi=150>(x)_{n,f,t} = \prod_prod\limits_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</tex>
== См.также ==
*[[Числа Стирлинга первого рода]]
*[[Числа Стирлинга второго рода]]
==Примeчания==
* [https://www.mathworks.com/help/symbolic/pochhammer.html?requestedDomain=true Pochhammer Symbol at MATLAB]
* [http://mathworld.wolfram.com/RisingFactorial.html Rising Factorial]
* [https://www.researchgate.net/publication/309461372_Several_identities_involving_the_falling_and_rising_factorials_and_the_Cauchy_Lah_and_Stirling_numbers Several identities involving the falling and rising factorials and the Cauchy, Lah, and Stirling numbers]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
