Изменения

При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение)В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал.

В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториалКогда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, так <tex>(x)_n</tex> равняется числу инъективных отображений<ref name="Injective function">[https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function Injective function]</ref> из множества с <tex>n</tex> элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и убывающий факториал<tex>P(x,n)</tex>. Сам Лео Август Похгаммер для себя использовал Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где <tex>x</tex> {{---}} переменная, то есть <tex>(x)^_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>n</tex> в другом смысле - для обозначения биномиального коэффициента от <tex>\tbinom xnx</tex>.

Когда <texb>xЗамечание</texb> неотрицательное целое число, <tex>(x)_n</tex> равняется числу инъективных отображений<ref name="Injective function">[https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function Injective function]</ref> из множества с <tex>n</tex> элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и <tex>P(x,n)</tex>. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где <tex>x</tex> {{---}} переменная, то есть <tex>(x)_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>n</tex> от <tex>x</tex>.

[[File:RisingFactorial_2RisingFactorial_3.pngjpg|401px|thumb|upright|График растущего факториала для <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>4</tex>]]

[[File:PlotThePochhammerSymbolExamplePlotThePochhammerSymbolExample_02.png|401px|thumb|upright|График убывающего факториала для <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>4</tex>]]

===Связывающие коэффициентыКоэффициенты связи===

Коэффициенты <tex dpi=150>{m \choose k} {n \choose k} k!</tex>, стоящие при <tex dpi=150>(x)_{m+n-k}</tex> , называются ''' связывающими коэффициентамисвязи''' (англ. ''connection coefficients'').

:<tex dpi=150>\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n} \quad\mbox{and}\quad </tex> и <tex dpi=150>\frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.</tex>

:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n ,</tex>

:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} .</tex>

Отношение двух символов Похгаммера определяется какможно выразить следующим образом:

Кроме того, мы можем Убывающий факториал возможно выразить убывающие факториалы следующим образомспособом:

:<tex dpi=150>(x^{\underline)_{m+n}} = x^{\underlinex_{m}} (x-m)^{\underline_{n}}</tex>:<tex dpi=150>(x)_{m+-n} = \frac{1}{(x+1)_m (x+m2)_n</tex>:<tex dpi=150>(x)_{-n} = \frac{1}{cdots (x-+n)_n} = \frac{1}{(x-+1)^{\underline{n}}}</tex> :<tex dpi=150>x^{\underline{-n}} = \frac{1}{(x+1n)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}}</tex> ====Числа Стирлинга первого рода====Растущий факториал выражается с помощью [[Числа Стирлинга первого рода|чисел Стирлинга первого рода]]: :<tex dpi=150>x^{(n)} = \fracsum\limits_{k=1}{^n s(x+1n,k)(x+2) \cdots (x+n)}^k</tex>

<tex dpi=150> x^{(n )} = \sum\limits_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} (x^{\underline)_{n-k}} </tex>:<tex dpi=150> = \sum\limits_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k. </tex>

ЗаметимВторое равенство получается из определения чисел Лаха. Поэтому осталось доказать лишь то, что <tex dpi=150>(x)_k=0</tex> при <tex dpi=150>x<k</tex>, поэтому слагаемые из суммы в левая часть равняется правой части, начиная с <tex dpi=150>k=m</tex>, равны нулю, то есть::<tex dpi=150>x^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k)</tex>Подставим целое <tex dpi=150>m</tex> из отрезка <tex dpi=150>[0;n]</tex>, тогда получим::<tex dpi=150> m^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (xm)_k)</tex>Подставим целое Заметим, что <tex dpi=150>(m)_k=0</tex> из отрезка при <tex dpi=150>[0;n]m+1 \leqslant k</tex>, тогда получим (заметимпоэтому слагаемые из суммы в правой части, что начиная с <tex dpi=150>(x)_k=0</tex> при <tex dpi=150>x<k\geqslant m+1</tex>), равны нулю, то есть::<tex dpi=150>\fracsum\limits_{k=1}^n (\binom{n+m-1)}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m-1)!}_k)=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\fracbinom{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{n!}{k!}\times\frac{m!}{(m-k)!}_k)</tex>

:<tex dpi=150>=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}\times\frac{m!}{k!(m-k)!})=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{k-1}\times\binom{m}{k})</tex>

Это тождество очевидно из комбинаторики, так как обе части равны числу способов выбрать из <tex dpi=150>n+m-1</tex> элементов, разделённых на два множества по <tex dpi=150>n-1</tex> и <tex dpi=150>m</tex> элементов, <tex dpi=150>n</tex> элементов. С одной стороны нельзя не признать, что это левая часть тождества по определению сочетания. С другой стороны нельзя не согласиться, что это правая часть тождества, в котором <tex dpi=150>k</tex> означает количество элементов, берущихся из множества размера <tex dpi=150>m</tex>, а <tex dpi=150>n-k</tex> из второго множества размера <tex dpi=150>n-1</tex>.

Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения <tex dpi=150>n</tex>, но с использованием Гамма функции<ref>[[https://en.wikipedia:.org/wiki/Gamma_function Gamma function|Гамма функции]] </ref> при условии, что <tex dpi=150>x</tex> и <tex dpi=150>x+n</tex> вещественные числа, но не отрицательные целые.

:<tex dpi=150>\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)</tex> {{---}} для комплексного <tex dpi=150>z</tex>.Значит, это тождество верно и для <tex dpi=150>z=x</tex>, где <tex dpi=150>x</tex> {{---}} вещественное число. То есть::<tex dpi=150>\Gamma(x) = x(x-1)\Gamma(x-21)\cdots\{x\}</tex> {{---}} для вещественного <tex dpi=150>x</tex>. ЗначитЗаметим тогда,что:

<tex dpi=150>\Gamma(x+n) = ((x+n)-1)\cdot\Gamma((x+n)-1)= ((x+n)-21)(x+n-32)\cdotscdot\{Gamma((x+n\})-2)</tex>:<tex dpi=150>= \cdots =((x+n)-1)((x+n)-2)\cdots((x+n)-n)\cdot\Gamma((x+n)-3n)</tex>:<tex dpi=150>= ((x+n)-1)((x+n)-2)\cdotsx\{cdot\Gamma(x\})</tex>

<tex dpi=150>\Gamma(x) = (x-1)(x-2)(x-3)\cdots\{x-1\}</tex>Значит:<tex dpi=150>=(x-1)(x-2)(x-3)\cdots\{x\}</tex>

Объединив эти два факта, получим: <tex dpi=150>\frac{\Gamma(x+1n)}{\Gamma(x-n+1)}=\frac{((x+n)-1)((x+n)-2)(x+n-3)\cdotsx\{xcdot\}}{Gamma(x-1)(x-2)}{\Gamma(x-3)\cdots\{x\}}</tex>:<tex dpi=150>=(x+n-1)(x+n-2)\cdots x = x(x+n-31)\cdots(x+n-1)=x^{(n)}</tex>.

:<tex dpi=150>\Gamma(xz+1) = z\Gamma(z) </tex> {{---}} для комплексного <tex dpi=150>z</tex>.Значит, это тождество верно и для <tex dpi=150>z= x</tex>, где <tex dpi=150>x</tex> {{---}} вещественное число. То есть::<tex dpi=150>\Gamma(x-+1)= x\Gamma(x-2)\cdots\{x\}</tex> {{---}} по определениюдля вещественного <tex dpi=150>x</tex>. ЗначитЗаметим тогда,что:

<tex dpi=150>\Gamma(x+1) = x\cdot\Gamma(x) = x(x-1)\cdot\Gamma(x-21)</tex> :<tex dpi=150>= \cdots= x(x-1)\{cdots(x-n+1)\}cdot\Gamma(x-n+1)</tex>

<tex dpi=150>\Gamma(x-n+1) = (x-n+1)(x-n-2)(x-n-3)\cdots\{x-n+1\}</tex>Значит:<tex dpi=150>=(x-n+1)(x-n-2)(x-n-3)\cdots\{x\}</tex>

Объединив эти два факта, получим: <tex dpi=150>\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}=\frac{x(x-1)(x-2)\cdots\{x\}}{(x-n+1)\cdot\Gamma(x-n-2+1)}{\Gamma(x-n-3+1)\cdots\{x\}}</tex>:<tex dpi=150>=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=(x)_n</tex>.

Если <tex dpi{{Утверждение|id=150>D</tex> означает производную по <tex dpi|author=150>x</tex>, то|about=:|statement=<tex dpi=150>D\frac{\partial^n(x^a) }{\partial x^n} = (a)_n\,\, x^{a-n}.</tex> ===Теорема об умножении==|proof=По [[wikipedia:Multiplication theorem|теореме об умножении]] получаем следующие выражения для растущего факториала: :<tex dpi=150>\frac{\partial^n(x^a)_}{k+mn} = (\partial x)_k m^{mnn} =a\prodtimes\limits_frac{j=0}\partial^{mn-1} \left(\frac{x+j+k}^{ma-1}\right)_n,}{\ m \in \mathbbpartial x^{Nn-1}} </tex> :<tex dpi=150>a(ax+ba-1)_n = x^n \prodtimes\limits_frac{k=0}\partial^{xn-12} \left(x^{a+\frac{b+k-2}{x)}\right)_{n/x},\ partial x \in \mathbb^{Zn-2}^{+} </tex> :<tex dpi=150>(2x)_{2n} = 2^{2n} a(xa-1)_n \leftcdots (xa-n+2)\times\frac{\partial(x^{a-(n-1)})}{2\partial x}\right=(a)_n. \,\, x^{a-n}</tex>}}

Обобщенный символ Похгаммера называется Существует обобщённый символ Похгаммера<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Pochhammer_symbol Generalized Pochhammer symbol]</ref>, используемый в многомерном математическом анализе. Также существует ''<tex>q''</tex>-аналог<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Q-analog ''q''-analog]</ref> {{---}} ''<tex>q''</tex>-Похгаммер символ<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Q-Pochhammer_symbol ''q''-Pochhammer symbol]</ref>.

Обобщение убывающего факториала, в которой {{---}} функция вычисляется по нисходящей арифметической последовательности целых чисел, а значения перемножаются какопределённая следующим образом:

где <tex>-h</tex> декремент и <tex>k</tex> {{---}} разница в убывающей арифметической прогрессии аргументов множителей и число факторовмножителей соответственно. Соответствующее обобщения Аналогичное обобщение растущего факториала:

Для арифметической функции <tex>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}</tex> и параметров <tex>x, t</tex> определен определено обобщенное факториальное произведение вида: