1632
правки
Изменения
м
При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение). В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал. Сам Лео Август Похгаммер для себя использовал <tex>(x)^n</tex> в другом смысле {{---}} для обозначения биномиального коэффициента <tex dpi=150>\tbinom xn</tex>.
Кроме того, мы можем Убывающий факториал возможно выразить убывающие факториалы следующим образомспособом:
rollbackEdits.php mass rollback
В математике '''убывающим факториалом''' (англ. ''falling factorial'') (иногда называется '''нисходящим факториалом''', '''постепенно убывающим факториалом''' или '''нижним факториалом''') обозначают:
:<tex>(x)_{n}=x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\prod\limits_{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod\limits_{k=0}^{n-1}(x-k)</tex>
При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).
}}
{{Определение
'''Растущий факториал''' (англ. ''rising factorial'') (иногда называется '''функцией Похгаммера''', '''многочленом Похгаммера''', '''восходящим факториалом''', '''постепенно растущим произведением''' или '''верхним факториалом''') определяется следующей формулой:
:<tex>x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod\limits_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod\limits_{k=0}^{n-1}(x+k). </tex>
При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).
}}
Грахам, Кнут и Паташник<ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik in their book ''Concrete Mathematics'' (<tex>1988</tex>), Addison-Wesley, Reading MA. ISBN <tex>0-201-14236-8</tex>, pp. <tex>47</tex>,<tex>48</tex></ref> предложили произносить эти записи как "<tex>x</tex> растущий к <tex>m</tex>" и "<tex>x</tex> убывающий к <tex>m</tex>" соответственно.
Когда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, <tex>(x)_n</tex> равняется числу инъективных отображений<ref name="Injective function">[https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function Injective function]</ref> из множества с <tex>n</tex> элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и <tex>P(x,n)</tex>. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где <tex>x</tex> {{---}} переменная, то есть <tex>(x)_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>n</tex> от <tex>x</tex>.
<b>Замечание</b>
Другие формы записи убывающего факториала: <tex>P(x,n)</tex>, <tex>^x P_n</tex>, ,<tex>P_{x,n}</tex> или <tex>_x P_n</tex>.
Убывающий и растущий факториалы определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно, <tex dpi=150>x</tex> может быть даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах.
===Связывающие коэффициентыКоэффициенты связи===
Так как убывающие факториалы {{---}} базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов:
{{Определение
|definition=
Коэффициенты <tex dpi=150>{m \choose k} {n \choose k} k!</tex>, стоящие при <tex dpi=150>(x)_{m+n-k}</tex> , называются ''' связывающими коэффициентамисвязи''' (англ. ''connection coefficients'').
}}
===Биномиальный коэффициент===
Растущий и убывающий факториалы могут быть использованы для обозначения биномиального коэффициента:
:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} </tex>
Отношение двух символов Похгаммера определяется какможно выразить следующим образом:
:<tex dpi=150>\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x-i)_{n-i},\ n \geqslant i. </tex>
:<tex dpi=150>(x^{\underline)_{m+n}} = x^{\underlinex_{m}} (x-m)^{\underline_{n}}</tex>:<tex dpi=150>(x)_{m+-n} = \frac{1}{(x+1)_m (x+m2)_n</tex>:<tex dpi=150>(x)_{-n} = \frac{1}{cdots (x-+n)_n} = \frac{1}{(x-+1)^{\underline{n}}}</tex> :<tex dpi=150>x^{\underline{-n}} = \frac{1}{(x+1n)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)}</tex>
====Числа Стирлинга первого рода====
Убывающий и растущий факториалы выражаются друг через друга при помощи [[Числа Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]]:
<tex dpi=150> x^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} (x^{\underline)_{n-k}} </tex>
:<tex dpi=150> = \sum\limits_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k </tex>
Эта запись объединяет растущий и убывающий факториалы, которые <tex dpi=150>[x^{k/1}]</tex> и <tex dpi=150>[x^{k/-1}]</tex> соответственно.
Для арифметической функции <tex>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}</tex> и параметров <tex>x, t</tex> определен определено обобщенное факториальное произведение вида:
:<tex dpi=150>(x)_{n,f,t} = \prod\limits_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</tex>
