Символ Похгаммера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Обобщения)
Строка 113: Строка 113:
 
A generalization of the falling factorial in which a function is evaluated on a descending arithmetic sequence of integers and the values are multiplied is:
 
A generalization of the falling factorial in which a function is evaluated on a descending arithmetic sequence of integers and the values are multiplied is:
  
:<math>[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),</math>
+
:<tex>[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),</tex>
  
 
where {{math|&minus;''h''}} is the decrement and {{math|''k''}} is the number of factors. The corresponding generalization of the rising factorial is
 
where {{math|&minus;''h''}} is the decrement and {{math|''k''}} is the number of factors. The corresponding generalization of the rising factorial is
  
:<math>[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).</math>
+
:<tex>[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).</tex>
  
 
This notation unifies the rising and falling factorials, which are [''x'']<sup>''k''/1</sup> and [''x'']<sup>''k''/&minus;1</sup>, respectively.
 
This notation unifies the rising and falling factorials, which are [''x'']<sup>''k''/1</sup> and [''x'']<sup>''k''/&minus;1</sup>, respectively.
  
For any fixed arithmetic function <math>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}</math> and symbolic parameters <math>x, t</math>, related generalized factorial products of the form
+
For any fixed arithmetic function <tex>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}</tex> and symbolic parameters <tex>x, t</tex>, related generalized factorial products of the form
  
:<math>(x)_{n,f,t} := \prod_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</math>
+
:<tex>(x)_{n,f,t} := \prod_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</tex>
  
 
may be studied from the point of view of the classes of generalized [[Stirling numbers of the first kind]] defined by the following coefficients of the powers of <math>x</math> in the expansions of <math>(x)_{n,f,t}</math> and then by the next corresponding triangular recurrence relation:
 
may be studied from the point of view of the classes of generalized [[Stirling numbers of the first kind]] defined by the following coefficients of the powers of <math>x</math> in the expansions of <math>(x)_{n,f,t}</math> and then by the next corresponding triangular recurrence relation:
  
:<math>
+
:<tex> \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} = [x^{k-1}] (x)_{n,f,t} \\  
\begin{align}
+
      = f(n-1) t^{1-n} \left[\begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} + \left[\begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix} \right]_{f,t} + \delta_{n,0} \delta_{k,0}. </tex>
\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} & = [x^{k-1}] (x)_{n,f,t} \\  
 
    & = f(n-1) t^{1-n} \left[\begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} + \left[\begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix} \right]_{f,t} + \delta_{n,0} \delta_{k,0}.  
 
\end{align}
 
</math>
 
  
These coefficients satisfy a number of analogous properties to those for the [[Stirling numbers of the first kind]] as well as recurrence relations and functional equations related to the ''f-harmonic numbers'', <math>F_n^{(r)}(t) := \sum_{k \leq n} t^k / f(k)^r</math>.<ref>''[https://arxiv.org/abs/1611.04708 Combinatorial Identities for Generalized Stirling Numbers Expanding f-Factorial Functions and the f-Harmonic Numbers]'' (2016).</ref>
+
These coefficients satisfy a number of analogous properties to those for the [[Stirling numbers of the first kind]] as well as recurrence relations and functional equations related to the ''f-harmonic numbers'', <tex>F_n^{(r)}(t) := \sum_{k \leq n} t^k / f(k)^r</tex>.<ref>''[https://arxiv.org/abs/1611.04708 Combinatorial Identities for Generalized Stirling Numbers Expanding f-Factorial Functions and the f-Harmonic Numbers]'' (2016).</ref>
  
 
== См.также ==
 
== См.также ==

Версия 18:26, 18 января 2018

ЭТО ЕЩЁ НЕ КОНЕЦ, ЭТО ТОЛЬКО НАЧАЛО!!!

В математике убывающим факториалом (англ. falling factorial) (иногда называется нисходящим факториалом,[1] постепенно убывающим факториалом или нижним факториалом) обозначают:

[math](x)_{n}=x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\prod_{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k)[/math]

Растущий факториал (англ. rising factorial) (иногда называется функцией Похгаммера, многочленом Похгаммера, восходящим факториалом,[1] постепенно растущим произведением или верхним факториалом) определяется следующей формулой:

[math]x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k). [/math]

При [math]n=0[/math] значение принимается равным [math]1[/math] (пустое произведение).

Символ Похгаммера введен Лео Августом Похгаммером в записи [math](x)^n[/math], где [math]n[/math] неотрицательное целое число. В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал. Поэтому при чтении любой статьи необходимо обратить внимание на то, какой именно из двух факториалов имеется в виду. Сам Похгаммер для себя использовал [math](x)^n[/math] в другом смысле - для обозначения биномиального коэффициента [math]\tbinom xn[/math].[2]

В этой статье [math](x)_n[/math] означает убывающий факториал и [math](x)^n[/math] - растущий факториал. Такое же обозначение используется в комбинаторике.[3]

Когда [math]x[/math] неотрицательное целое число, [math](x)_n[/math] равняется числу инъективных отображений из множества с [math]n[/math] элементами во множество из [math]x[/math] элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения [math]_x P_n[/math] и [math]P(x,n)[/math]. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где [math]x[/math] - переменная, то есть [math](x)_n[/math] есть ни что иное как многочлен степени [math]n[/math] от [math]x[/math].

Примеры

Несколько первых растущих факториалов:

[math]x^{(0)}=x^{\overline0}=1 [/math]
[math]x^{(1)}=x^{\overline1}=x [/math]
[math]x^{(2)}=x^{\overline2}=x(x+1)=x^2+x [/math]
[math]x^{(3)}=x^{\overline3}=x(x+1)(x+2)=x^3+3x^2+2x [/math]
[math]x^{(4)}=x^{\overline4}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^4+6x^3+11x^2+6x [/math]

Несколько первых убывающих факториалов:

[math](x)_{0}=x^{\underline0}=1 [/math]
[math](x)_{1}=x^{\underline1}=x [/math]
[math](x)_{2}=x^{\underline2}=x(x-1)=x^2-x [/math]
[math](x)_{3}=x^{\underline3}=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x [/math]
[math](x)_{4}=x^{\underline4}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4-6x^3+11x^2-6x [/math]

Коэффициенты в выражениях являются числами Стирлинга первого рода.

Свойства

Растущий и убывающий факториалы могут быть использованы для обозначения биномиального коэффициента:

[math]\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n} \quad\mbox{and}\quad \frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.[/math]

Таким образом, многие свойства биномиальных коэффициентов справедливы для падающих и растущих факториалов.

Растущий факториал может быть выражен как падающий факториал, начинающийся с другого конца,

[math]x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n ,[/math]

или как убывающий с противоположным аргументом,

[math]x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} .[/math]

Убывающий и растущий факториалы определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно, [math]x[/math] может быть даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах.

Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения [math]n[/math], но с использованием Гаммы функции при условии, что [math]x[/math] и [math]x+n[/math] вещественные числа, но не отрицательные целые:

[math]x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)},[/math]

то же самое и про убывающий факториал:

[math](x)_n=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}.[/math]

Если [math]D[/math] означает производную по [math]x[/math], то

[math]D^n(x^a) = (a)_n\,\, x^{a-n}.[/math]

Связывающие коэффициенты и тождества

Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом Lah numbers и суммами для интегральных степеней переменной [math]x[/math] с привлечением чисел Стирлинга второго рода в следующих формах, в которых [math]\binom{r}{k} = r^{\underline{k}} / k![/math]: [4]

[math] x^{\underline{n}} = \sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k [/math]
[math] = (-1)^n (-x)_n = (x-n+1)_n = \frac{1}{(x+1)^{\overline{-n}}} [/math]
[math] (x)_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (n-1)^{\underline{n-k}} \times x^{\underline{k}} [/math]
[math] = (-1)^n (-x)^{\underline{n}} = (x+n-1)^{\underline{n}} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{-n}}} [/math]
[math] = \binom{-x}{n} (-1)^n n! [/math]
[math] = \binom{x+n-1}{n} n! [/math]
[math] x^n = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} x^{\underline{n-k}} [/math]
[math] = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k. [/math]

Так как убывающие факториалы - базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов:

[math](x)_m (x)_n = \sum_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!\, (x)_{m+n-k}.[/math]

Коэффициенты [math](x)_{m+n-k}[/math] называются связывающими коэффициентами (англ. connection coefficients). Они имеют комбинаторную интерпретацию как число способов объединить [math]k[/math] элементов из множеств размера [math]m[/math] и [math]n[/math]. Так же есть связывающая формула для отношения двух символов Похгаммера:

[math]\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x+i)_{n-i},\ n \geq i. [/math]

Additionally, we can expand generalized exponent laws and negative rising and falling powers through the following identities:

[math]x^{\underline{m+n}} = x^{\underline{m}} (x-m)^{\underline{n}}[/math]
[math](x)_{m+n} = (x)_m (x+m)_n[/math]
[math](x)_{-n} = \frac{1}{(x-n)_n} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{n}}}[/math]
[math]x^{\underline{-n}} = \frac{1}{(x+1)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)}[/math]

Finally, duplication and multiplication formulas for the rising factorials provide the next relations:

[math](x)_{k+mn} = (x)_k m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+j+k}{m}\right)_n,\ m \in \mathbb{N} [/math]
[math](ax+b)_n = x^n \prod_{k=0}^{x-1} \left(a+\frac{b+k}{x}\right)_{n/x},\ x \in \mathbb{Z}^{+} [/math]
[math](2x)_{2n} = 2^{2n} (x)_n \left(x+\frac{1}{2}\right)_n. [/math]

Альтернативные формы записи

Альтернативная форма записи растущего факториала:

[math]x^{\overline{m}}=\overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}\qquad\mbox{for integer }m\ge0,[/math]

а убывающего факториала:

[math]x^{\underline{m}}=\overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m~\mathrm{factors}}\qquad\mbox{for integer }m\ge0;[/math]

использовались А. Капелли (1893) и Л. Тоскано (1939) соответственно.[5] Грахам, Кнут и Паташник[6] предложили произносить эти записи как "[math]x[/math] растущий к [math]m[/math]" и "[math]x[/math] убывающий к [math]m[/math]" соответственно.

Другие формы записи убывающего факториала: [math]P(x,n)[/math], [math]^x P_n[/math], ,[math]P_{x,n}[/math] или [math]_x P_n[/math].

Другое обозначение растущего факториала [math]x^{(n)}[/math] реже встречается, чем [math](x)^+_n[/math]. Обозначение [math](x)^+_n[/math] используется для растущего факториала, запись [math](x)^-_n[/math] обычно применяется для обозначения убывающего факториала для избежания недоразумений.[2]

Обобщения

The Pochhammer symbol has a generalized version called the generalized Pochhammer symbol, used in multivariate analysis. There is also a q-analogue, the q-Pochhammer symbol.

A generalization of the falling factorial in which a function is evaluated on a descending arithmetic sequence of integers and the values are multiplied is:

[math][f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),[/math]

where Шаблон:Math is the decrement and Шаблон:Math is the number of factors. The corresponding generalization of the rising factorial is

[math][f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).[/math]

This notation unifies the rising and falling factorials, which are [x]k/1 and [x]k/−1, respectively.

For any fixed arithmetic function [math]f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}[/math] and symbolic parameters [math]x, t[/math], related generalized factorial products of the form

[math](x)_{n,f,t} := \prod_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)[/math]

may be studied from the point of view of the classes of generalized Stirling numbers of the first kind defined by the following coefficients of the powers of [math]x[/math] in the expansions of [math](x)_{n,f,t}[/math] and then by the next corresponding triangular recurrence relation:

[math] \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} = [x^{k-1}] (x)_{n,f,t} \\ = f(n-1) t^{1-n} \left[\begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} + \left[\begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix} \right]_{f,t} + \delta_{n,0} \delta_{k,0}. [/math]

These coefficients satisfy a number of analogous properties to those for the Stirling numbers of the first kind as well as recurrence relations and functional equations related to the f-harmonic numbers, [math]F_n^{(r)}(t) := \sum_{k \leq n} t^k / f(k)^r[/math].[7]

См.также

Примeчания

  1. 1,0 1,1 Steffensen, J. F., Interpolation (2nd ed.), Dover Publications, p. 8, ISBN 0-486-45009-0 (A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing Co.)
  2. 2,0 2,1 Knuth, Donald E. (1992), "Two notes on notation", American Mathematical Monthly, 99 (5): 403–422, arXiv:math/9205211 Freely accessible, doi:10.2307/2325085, JSTOR 2325085. The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.
  3. Olver, Peter J. (1999), Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55821-2, MR 1694364
  4. Wolfram Functions Site — Introduction to the factorials and binomials
  5. According to Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed., p. 50.
  6. Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik in their book Concrete Mathematics (1988), Addison-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, pp. 47,48
  7. Combinatorial Identities for Generalized Stirling Numbers Expanding f-Factorial Functions and the f-Harmonic Numbers (2016).

Источники материала