Симметричное отношение — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «== Определение == Бинарное отношение <math>R</math> на множестве X называется '''симметричным''', е…»)
 
 
(не показано 12 промежуточных версий 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
== Определение ==
+
[[бинарное отношение|Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''симметричным''' (англ. ''symmetric binary relation''), если для каждой пары элементов множества <tex>(a, b)</tex> выполнение отношения <tex>a\,R\,b</tex> влечёт выполнение отношения <tex>b\,R\,a</tex>.
Бинарное [[отношение]] <math>R</math> на множестве X называется '''симметричным''', если для каждой пары элементов множества <math>(a, b)</math> выполнение отношения <math>a\,R\,b</math> влечёт выполнение отношения <math>b\,R\,a</math>.
+
{{Определение
 +
|definition =
 +
Отношение <tex>R</tex> '''симметрично''', если <tex>\forall a, b \in X:\ a\,R\,b \Rightarrow b\,R\,a</tex>.
 +
}}
 +
Отношение достижимости вершин неориентированного [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графа]] симметрично.
 +
Матрица симметричного отношения является симметричной относительно главной диагонали, т.е., формально, симметричной называют такую матрицу <tex>A</tex>, что <tex> \forall i,j: i \neq j \Rightarrow a_{ij}=a_{ji}</tex>.
  
Формально, [[отношение]] <math>R</math> симметрично, если <math>\forall a, b \in X,\ a\,R\,b \Rightarrow b\,R\,a</math>.
+
Примером [[Антисимметричное отношение|антисимметричного отношения]] является отношение связи вершин направленного ациклического графа.
  
== Примеры ==
+
Любое отношение эквивалентности, по определению, является симметричным (а также рефлексивным и транзитивным).
Любое отношение эквивалентности, по определению, является симметричным (а также [[рефлексивное отношение|рефлексивным]] и [[транзитивное отношение|транзитивным]]).
+
Также любое отношение толерантности является симметричным (а также рефлексивным, но при этом не транзитивным).
Также симметрично отношение связи вершин графа (неориентированного).
 
  
Не являются симметричными (за исключением случая тождественной ложности отношения) отношения порядка (как полного, так и частичного), а также отношение следования вершин ориентированного графа.
+
Не являются симметричными (за исключением случая тождественной ложности отношения) отношения порядка (как полного, так и частичного).
 +
 
 +
== Примеры симметричных отношений ==
 +
* Отношения '''[[Отношение эквивалентности|эквивалентности]]''':
 +
** отношение ''равенства'' <tex>=\;</tex>
 +
** отношение ''сравнимости по модулю''
 +
** отношение ''равномощности'' множеств
 +
** отношение ''параллельности'' прямых и плоскостей
 +
** отношение ''подобия'' геометрических фигур
 +
* Отношения '''толерантности''':
 +
** отношение "знакомства"
 +
** отношение "наличие общего свойства"
 +
 
 +
==Источники информации==
 +
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Wikipedia | Симметричное отношение]
 +
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%8D%D0%BA%D0%B2%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Wikipedia | Отношение эквивалентности]
 +
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Wikipedia | Отношение толерантности]
 +
 
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_relation Wikipedia | Symmetric relation]
 +
 
 +
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Отношения ]]

Текущая версия на 10:16, 16 октября 2014

Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется симметричным (англ. symmetric binary relation), если для каждой пары элементов множества [math](a, b)[/math] выполнение отношения [math]a\,R\,b[/math] влечёт выполнение отношения [math]b\,R\,a[/math].

Определение:
Отношение [math]R[/math] симметрично, если [math]\forall a, b \in X:\ a\,R\,b \Rightarrow b\,R\,a[/math].

Отношение достижимости вершин неориентированного графа симметрично. Матрица симметричного отношения является симметричной относительно главной диагонали, т.е., формально, симметричной называют такую матрицу [math]A[/math], что [math] \forall i,j: i \neq j \Rightarrow a_{ij}=a_{ji}[/math].

Примером антисимметричного отношения является отношение связи вершин направленного ациклического графа.

Любое отношение эквивалентности, по определению, является симметричным (а также рефлексивным и транзитивным). Также любое отношение толерантности является симметричным (а также рефлексивным, но при этом не транзитивным).

Не являются симметричными (за исключением случая тождественной ложности отношения) отношения порядка (как полного, так и частичного).

Примеры симметричных отношений[править]

  • Отношения эквивалентности:
    • отношение равенства [math]=\;[/math]
    • отношение сравнимости по модулю
    • отношение равномощности множеств
    • отношение параллельности прямых и плоскостей
    • отношение подобия геометрических фигур
  • Отношения толерантности:
    • отношение "знакомства"
    • отношение "наличие общего свойства"

Источники информации[править]