Симметричное отношение — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
 
 
[[бинарное отношение|Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''симметричным''', если для каждой пары элементов множества <tex>(a, b)</tex> выполнение отношения <tex>a\,R\,b</tex> влечёт выполнение отношения <tex>b\,R\,a</tex>.
 
[[бинарное отношение|Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''симметричным''', если для каждой пары элементов множества <tex>(a, b)</tex> выполнение отношения <tex>a\,R\,b</tex> влечёт выполнение отношения <tex>b\,R\,a</tex>.
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 31: Строка 29:
 
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%8D%D0%BA%D0%B2%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Wikipedia | Отношение эквивалентности]
 
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%8D%D0%BA%D0%B2%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Wikipedia | Отношение эквивалентности]
 
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Wikipedia | Отношение толерантности]
 
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Wikipedia | Отношение толерантности]
 +
 +
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Отношения ]]

Версия 23:05, 16 января 2012

Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется симметричным, если для каждой пары элементов множества [math](a, b)[/math] выполнение отношения [math]a\,R\,b[/math] влечёт выполнение отношения [math]b\,R\,a[/math].

Определение:
Отношение [math]R[/math] симметрично, если [math]\forall a, b \in X:\ a\,R\,b \Rightarrow b\,R\,a[/math].

Отношение достижимости вершин неориентированного графа симметрично. Матрица симметричного отношения является симметричной относительно главной диагонали, т.е., формально, симметричной называют такую матрицу [math]A[/math], что [math] \forall i,j: i \neq j \Rightarrow a_{ij}=a_{ji}[/math].

Примером антисимметричного отношения является отношение связи вершин направленного ациклического графа.

Любое отношение эквивалентности, по определению, является симметричным (а также рефлексивным и транзитивным). Также любое отношение толерантности является симметричным (а также рефлексивным, но при этом не транзитивным).

Не являются симметричными (за исключением случая тождественной ложности отношения) отношения порядка (как полного, так и частичного).

Примеры симметричных отношений

  • Отношения эквивалентности:
    • отношение равенства [math]=\;[/math]
    • отношение сравнимости по модулю
    • отношение равномощности множеств
    • отношение параллельности прямых и плоскостей
    • отношение подобия геометрических фигур
  • Отношения толерантности:
    • отношение "знакомства"
    • отношение "наличие общего свойства"

Источники