Редактирование: Симуляция одним распределением другого

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 3: Строка 3:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
Пусть <tex>\xi</tex> является случайной величиной, а <tex>A</tex> {{---}} ее множеством значений. Функция <tex>P: 2^A  \rightarrow \mathbb R,</tex> определенная как <tex>P(B) = P(\xi  \in B),</tex> называется '''распределением случайной величины''' (англ. ''probability distribution''), то есть представляет собой набор  вероятностей, с которыми случайная величина принимает те или иные значения. }}
+
'''Распределение вероятностей''' {{---}} закон, описывающий область значений случайной величины и вероятность их исхода. }}
[[Файл:РаспределениеUPD.jpeg‎|200px|thumb|right|Геометрическое распределение с <tex>p = \dfrac {3} {4}</tex>]]
+
[[Файл:Распределение1_4.JPG‎|200px|thumb|right|Геометрическое распределение с <tex>p = \dfrac {3} {4}</tex>]]
  
 
Закон распределения дискретной случайной величины <tex>\xi</tex> задается таблицей:
 
Закон распределения дискретной случайной величины <tex>\xi</tex> задается таблицей:
Строка 28: Строка 28:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Дискретная случайная величина <tex>\xi</tex> называется '''биномиальной''' (англ. ''binomial random variable'') с параметрами <tex>(n, p),</tex> если она принимает значения от <tex>0</tex> до <tex>n</tex> и вероятности вычисляются по формуле <tex>p_i = P(\xi = i) = \dbinom{n}{k} p^k q^{n - k},</tex> где <tex>i = 1, \ldots, n;</tex> <tex>q = 1 - p,</tex>  <tex>p \in (0, 1).</tex>}}
+
Дискретная случайная величина <tex>\xi</tex> называется '''биномиальной''' с параметрами <tex>(n, p),</tex> если она принимает значения от <tex>0</tex> до <tex>n</tex> и вероятности вычисляются по формуле <tex>p_i = P(\xi = i) = \dbinom{n}{k} p^k q^{n - k}.</tex>}}
 
 
 
===Нормальное распределение (распределение Гаусса)===
 
===Нормальное распределение (распределение Гаусса)===
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Непрерывную случайную величину <tex>\xi</tex> называют '''нормальной''' (англ. ''normal deviate'') с параметрами <tex>(a, \sigma)</tex> и пишут <tex>\xi = N (a, \sigma),</tex> если ее плотность вероятности дается формулой
+
Непрерывную случайную величину <tex>\xi</tex> называют '''нормальной''' с параметрами <tex>(a, \sigma)</tex> и пишут <tex>\xi = N (a, \sigma),</tex> если ее плотность вероятности дается формулой
 
<tex>f(x) = \dfrac {1} {\sigma \sqrt{2\pi}} {\large e^{-\frac {(x - a)^2} {2\sigma^2}}}.</tex>}}
 
<tex>f(x) = \dfrac {1} {\sigma \sqrt{2\pi}} {\large e^{-\frac {(x - a)^2} {2\sigma^2}}}.</tex>}}
 
 
===Равномерное распределение===
 
===Равномерное распределение===
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Непрерывная случайная величина <tex>\xi</tex> называется '''равномерно распределенной''' (англ. ''uniformly distributed random variable'') на <tex>[a, b],</tex> если ее плотность вероятности дается формулой
+
Непрерывная случайная величина <tex>\xi</tex> называется '''равномерно распределенной''' на <tex>[a, b],</tex> если ее плотность вероятности дается формулой
  
 
<tex>
 
<tex>
Строка 65: Строка 63:
 
Количество результатов "честной монеты" $\lambda$, которые необходимы для формирования случайного исхода, $-$  это случайная величина. Её математическое ожидание:
 
Количество результатов "честной монеты" $\lambda$, которые необходимы для формирования случайного исхода, $-$  это случайная величина. Её математическое ожидание:
  
$E\lambda = \dfrac{1}{2}\cdot1+\dfrac{1}{4}\cdot2+\dfrac{1}{8}\cdot3+\dfrac{1}{16}\cdot3+\dfrac{1}{16}\cdot4 = 1\dfrac{7}{8}.$
+
$E\lambda = \dfrac{1}{2}\cdot1+\dfrac{1}{4}\cdot2+\dfrac{1}{8}\cdot3+\dfrac{1}{16}\cdot3+\dfrac{1}{16}\cdot4 = 1\dfrac{7}{8}$
  
Можно сделать схему более экономной, если использовать датчик, равномерно формирующий число из диапазона $[0, 1]$. Образуем по данному набору вероятностей $p_i$ накопленные суммы $s_i$, такие, что $s_0 = 0; s_i = s_{i-1} + p_i,$ для  $i > 0$. Случайный исход будет вырабатываться так: по полученному из датчика случайному числу $\gamma$ находится такой индекс $i$, для которого $s_{i-1} < \gamma \leqslant s_i$. Найденное значение индекса $i$ и определяет исход $A_i$. Индекс $i$ можно определять непосредственно просмотром $s_i$ подряд.  
+
Можно сделать схему более экономной, используя свойство датчика случайных чисел формировать не отдельные результаты "честной монеты", а целые наборы их, например в виде числа, равномерно распределённого в $[0, 1]$. Образуем по данному набору вероятностей $p_i$ накопленные суммы $s_i$: $s_0 = 0; s_i = s_{i-1} + p_i, i > 0$. Случайный исход будет вырабатываться так: по полученному из датчика случайному числу $\gamma$ определяется такой индекс $i$, для которого $s_{i-1} < \gamma \leqslant s_i$. Найденное значение индекса $i$ и определяет исход $A_i$.
  
Рассмотрим приведенный выше пример с четырьмя исходам. В данном случае суммы $s_0, \ldots, s_4$ будут принимать значения <tex>0,</tex> <tex>\dfrac{3}{16},</tex> <tex>\dfrac{4}{16},</tex> <tex>\dfrac{12}{16}</tex> и <tex>1</tex> соответственно. Значению $\gamma = 0,5$ будет соответствовать $i = 3$, то есть оно будет определять исход события $A_3.$ Таким же образом, $\gamma = 0,985$ определяет исход события $A_4.$
+
Индекс $i$ можно определять непосредственно просмотром $s_i$ подряд. Если $k$ велико, можно применять специальные приёмы ускоренного поиска, например, деление множества индексов примерно пополам.
 
 
Если $k$ велико, можно применять специальные приёмы ускоренного поиска, например, деление множества индексов примерно пополам.
 
  
 
==Общий случай==
 
==Общий случай==
Строка 77: Строка 73:
 
| рис. <tex>1</tex> ||  рис. <tex>2</tex> ||  рис. <tex>3</tex>  
 
| рис. <tex>1</tex> ||  рис. <tex>2</tex> ||  рис. <tex>3</tex>  
 
|-
 
|-
|width = "280px"| [[Файл:Sim pic1.JPG|270px]] ||width = "280px"|[[Файл:Sim pic2.JPG‎|270px]] ||width = "280px"|[[Файл:Sim pic3.JPG‎|270px]]  
+
|width = "210px"| [[Файл:Sim pic1.JPG|200px]] ||width = "210px"|[[Файл:Sim pic2.JPG‎|200px]] ||width = "210px"|[[Файл:Sim pic3.JPG‎|200px]]  
 
|}
 
|}
  
Строка 101: Строка 97:
  
  
Таким образом, из любого исходного распределения мы можем получить нужное нам распределение.
+
 
 +
 
 +
Таким образом, из любого исходного распределения можно получить нужное нам распределение.
  
 
==См. также==  
 
==См. также==  
Строка 108: Строка 106:
 
*[[Дисперсия случайной величины]]
 
*[[Дисперсия случайной величины]]
  
==Источники информации==
+
==Литература==
 
*Боровков А.А. Математическая статистика: оценка параметров, проверка гипотез. {{---}} М., Физматлит, 1984, {{---}} стр. 71.
 
*Боровков А.А. Математическая статистика: оценка параметров, проверка гипотез. {{---}} М., Физматлит, 1984, {{---}} стр. 71.
 
*[http://sheen.me/books/spec/apia.djvu Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн {{---}} Алгоритмы. Построение и анализ {{---}} М. : ООО "И. Д. Вильямс", 2013. {{---}} 1328 с. {{---}} стр. 1254.]
 
*[http://sheen.me/books/spec/apia.djvu Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн {{---}} Алгоритмы. Построение и анализ {{---}} М. : ООО "И. Д. Вильямс", 2013. {{---}} 1328 с. {{---}} стр. 1254.]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: