Изменения

{{Определение|definition =Пусть <tex>\xi</tex> является случайной величиной, а <tex>A</tex> {{---}} ее множеством значений. Функция <tex>P: 2^A \rightarrow \mathbb R,</tex> определенная как <tex>P(B) = P(\xi \in B),</tex> называется '''распределением случайной величины''' (англ. ''probability distribution''), то есть представляет собой набор вероятностей, с которыми случайная величина принимает те или иные значения. }}[[Файл:Распределение1_4РаспределениеUPD.JPG‎jpeg‎|200px|thumb|right|Геометрическое распределение с <tex>p = \dfrac {3} {4}</4tex>]]'''Распределение — '''Закон распределения дискретной случайной величины <tex>\xi</tex> задается таблицей: <tex>\xi: \begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \ldots & x_n \\ p_1 & p_2 & \ldots & p_n\end{pmatrix}, </tex> где <tex>x_1 < x_2 < \ldots < x_n</tex> {{---}} всевозможные значения величины <tex>\xi,</tex> а <tex>p_i(i = 1, \ldots, n)</tex> {{---}} их вероятности, то есть <tex>p_i = P(\xi = x_i).</tex> При этом должно выполняться равенство: <tex>p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1.</tex> Это равенство означает, что при испытании одно из основных понятий теории вероятностей и математической статистикезначений заведомо реализуется. Распределение вероятностей какой-либо Таблица показывает, как суммарная вероятность <tex>100\%</tex> распределяется по возможным значениям случайной величины задается .  Для непрерывных случайных величин задание закона распределения в простейшем случае указанием возможных значений этой величины и соответствующих им вероятностейвиде такой таблицы невозможно, в более сложных — тпоэтому его задают двумя другими способами: :#С помощью [[Дискретная_случайная_величина#.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8. нD1. функцией 8F|функции распределения или плотностью ]] <tex>F (x);</tex>:#С помощью [[Дискретная_случайная_величина#.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D0.BF.D0.BB.D0.BE.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D0.B2.D0.B5.D1.80.D0.BE.D1.8F.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.B9|плотности вероятности]] <tex>f (x).</tex>

* ===Биномиальное распределение(закон Бернулли)===* {{Определение|definition=Дискретная случайная величина <tex>\xi</tex> называется '''биномиальной''' (англ. ''binomial random variable'') с параметрами <tex>(n, p),</tex> если она принимает значения от <tex>0</tex> до <tex>n</tex> и вероятности вычисляются по формуле <tex>p_i = P(\xi = i) = \dbinom{n}{k} p^k q^{n - k},</tex> где <tex>i = 1, \ldots, n;</tex> <tex>q = 1 - p,</tex> <tex>p \in (0, 1).</tex>}} ===Нормальное распределение(распределение Гаусса)==={{Определение|definition=Непрерывную случайную величину <tex>\xi</tex> называют '''нормальной''' (англ. ''normal deviate'') с параметрами <tex>(a, \sigma)</tex> и пишут <tex>\xi = N (a, \sigma),</tex> если ее плотность вероятности дается формулой<tex>f(x) = \dfrac {1} {\sigma \sqrt{2\pi}} {\large e^{-\frac {(x - a)^2} {2\sigma^2}}}.</tex>}} * ===Равномерное распределение==={{Определение|definition=Непрерывная случайная величина <tex>\xi</tex> называется '''равномерно распределенной''' (англ. ''uniformly distributed random variable'') на <tex>[a, b],</tex> если ее плотность вероятности дается формулой <tex>f(x)=\begin{cases}\dfrac {1} {b - a}, & \mbox{if } x \in [a, b] \\0, & \mbox{otherwise.}\end{cases}</tex>}}

<center>$P(A_1)=\fracdfrac{3}{4}$ $,$ $P(A_2)=\fracdfrac{1}{4}$</center>можно из датчика случайных двоичных разрядов величин получить два двоичных разряда результата "честной монеты" $\delta_1$ и $\delta_2$ и, например, при $\delta_1 = \delta_2 = 1$ выработать исход $A_2$, а в остальных случаях $A_1$. 

<center>$P(A_1)=\fracdfrac{3}{16}$ $,$ $P(A_2)=\fracdfrac{1}{16}$ $,$ $P(A_3)=\fracdfrac{8}{16}$ $,$ $P(A_4)=\fracdfrac{4}{16}$</center>можно получить четыре двоичных разряда результата "честной монеты" $\delta_1$ $,$ $\delta_2$ $,$ $\delta_3$ $,$ $\delta_4$ и любым способом сопоставить трём из 16 возможных наборов исход $A_1$, одному $-$ $A_2$, восьми $-$ $A_3$, четырём $-$ $A_4$. 

:#Пусть все вероятности $n_i$ $-$ дроби со знаменателем $r$. Найдём $k$, для которого $r < 2^k$. Предложим схему с $k$ двоичными разрядамирезультатами "честной монеты", в которой $r$ наборов используются для выработки случайного исхода, а остальные $2^{k}-r$ наборов объявляются "неудачными" и требуют повторного эксперимента (пока не встретится удачный). Чем выше доля полезных исходов равная $r2^{-k}$, тем схема будет эффективнее. Количество случайных двоичных разрядов результатов "честной монеты" $\lambda$, которые необходимы для формирования случайного исхода, $-$ это случайная величина. Её математическое ожидание:<center>$E\lambda = \fracdfrac{1}{2}\cdot1+\fracdfrac{1}{4}\cdot2+\fracdfrac{1}{8}\cdot3+\fracdfrac{1}{16}\cdot3+\fracdfrac{1}{16}\cdot4 = 1\fracdfrac{7}{8}.$</center> Можно сделать схему более экономной, используя свойство датчиков случайных чисел формировать не отдельные двоичные разряды, а целые наборы их, например в виде числаесли использовать датчик, равномерно распределённого в формирующий число из диапазона $[0, 1]$. Образуем по данному набору вероятностей $p_i$ накопленные суммы $s_i$: , такие, что $s_0 = 0; s_i = s_{i-1} + p_i, $ для $i > 0$. Случайный исход будет вырабатываться так: по полученному из датчика случайному числу $\gamma$ определяется находится такой индекс $i$, для которого $s_{i-1} < \gamma \le leqslant s_i$. Найденное значение индекса $i$ и определяет исход $A_i$.Индекс $i$ можно определять непосредственно просмотром $s_i$ подряд.  Рассмотрим приведенный выше пример с четырьмя исходам. В данном случае суммы $s_0, \ldots, s_4$ будут принимать значения <tex>0,</tex> <tex>\dfrac{3}{16},</tex> <tex>\dfrac{4}{16},</tex> <tex>\dfrac{12}{16}</tex> и <tex>1</tex> соответственно. Значению $\gamma = 0,5$ будет соответствовать $i = 3$, то есть оно будет определять исход события $A_3.$ Таким же образом, $\gamma = 0,985$ определяет исход события $A_4.$

Индекс $i$ можно определять непосредственно просмотром $s_i$ подряд. Если $k$ велико, можно применять специальные приёмы ускоренного поиска, например, деление множества индексов примерно пополам.

Самую эффективную схему предложил ==Общий случай=={|class = "wikitable" style="text-align:center;"| рис. <tex>1</tex> || рис. <tex>2</tex> || рис. <tex>3</tex> |-|width = "280px"| [[Файл:Sim pic1.JPG|270px]] ||width = "280px"|[[Файл:Sim pic2.JPG‎|270px]] ||width = "280px"|[[Файл:Sim pic3.JPG‎|270px]] |} Допустим у нас есть распределение <tex>p.</tex> Нам нужно получить распределение <tex>q</tex>. Для начала рассмотрим случай, когда все <tex>p_i = \dfrac{1}{k},</tex> а в распределении <tex>q </tex> количество элементарных исходов равно <tex>2</tex> <tex>(</tex>рис. <tex>1).</tex> Проводим эксперимент: если попадаем в область пересекающуюся с <tex> q_1 </tex> и <tex> q_2,</tex> то увеличиваем ее и повторяем эксперимент. На рис. <tex>1</tex> красным обозначено распределение <tex> q. </tex> Вероятность того, что на этом шаге эксперимент не закончится {{---}} <tex>\dfrac{1}{k}.</tex> Математическое ожидание количества экспериментов {{---}} <tex> \dfrac{k}{k-1}, max(\dfrac{k}{k-1}) = 2</tex> <tex>(</tex>при <tex>k = 2).</tex>  Теперь рассмотрим случай, когда все элементарные исходы <tex>p_i</tex> по-прежнему равновероятны <tex>(p_i = \dfrac{1}{k}),</tex>а количество элементарных исходов распределения <tex>q</tex> равно <tex>n (\sum\limits_{j=1}^{n}q_j = 1)</tex> <tex>(</tex>рис. <tex>2).</tex> Повторим эксперимент <tex> t </tex> раз. <tex> k^t \geqslant 2n, t \geqslant \log\limits_{k}2n </tex>  Отрезок разбился на <tex> k^t </tex> отрезков. Стык будет не более, чем в 1977 гполовине отрезков. Математическое ожидание количества экспериментов <tex> \approx 2t </tex>   <tex>p_i, \sum\limits_{i}p_i = 1,</tex> <tex>q_j, \sum\limits_{j}q_j = 1</tex> Берем <tex>p_i</tex>, и пусть оно максимальной длины <tex>(</tex>рис. <tex>3).</tex> Проводим <tex>t</tex> экспериментов. <tex>{p_i}^t < \dfrac{1}{2n}, </tex> все остальные еще меньше. Суммарная длина отрезков не больше <tex>\dfrac{1}{2}. А</tex> Нужно <tex> t \geqslant \log\limits_{p}\dfrac{1}{2n} . Уолкер</tex>   Таким образом, из любого исходного распределения мы можем получить нужное нам распределение.

==ЛитератураИсточники информации==*Боровков А.А. Математическая статистика: оценка параметров, проверка гипотез. {{- --}} М., Физматлит, 1984, {{---}} стр. 71.*[http://sheen.me/books/spec/apia.djvu Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн {{--- }} Алгоритмы. Построение и анализ 1244c{{---}} М. : ООО "И. Д. Вильямс", 2013. {{---}} 1328 с. {{---}} стр. 1254.]*Романовский И.В. Дискретный анализ{{---}} Элементы теории вероятностей и математической статистики (теория и задачи): учебное пособие. {{---}} Омск, издатель ИП Скорнякова Е.В., 2012. {{---}} 189 с. {{---}} стр. 34.  [[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Теория вероятности ]]