Изменения

{{Определение|definition =Пусть <tex>\xi</tex> является случайной величиной, а <tex>A</tex> {{---}} ее множеством значений. Функция <tex>P: 2^A \rightarrow \mathbb R,</tex> определенная как <tex>P(B) = P(\xi \in B),</tex> называется '''распределением случайной величины''' (англ. ''probability distribution''), то есть представляет собой набор вероятностей, с которыми случайная величина принимает те или иные значения. }}[[Файл:Распределение1_4РаспределениеUPD.JPG‎jpeg‎|200px|thumb|right|Геометрическое распределение с <tex>p = \dfrac {3} {4}</4tex>]]'''Распределение — '''Закон распределения дискретной случайной величины <tex>\xi</tex> задается таблицей: <tex>\xi: \begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \ldots & x_n \\ p_1 & p_2 & \ldots & p_n\end{pmatrix}, </tex> где <tex>x_1 < x_2 < \ldots < x_n</tex> {{---}} всевозможные значения величины <tex>\xi,</tex> а <tex>p_i(i = 1, \ldots, n)</tex> {{---}} их вероятности, то есть <tex>p_i = P(\xi = x_i).</tex> При этом должно выполняться равенство: <tex>p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1.</tex> Это равенство означает, что при испытании одно из основных понятий теории вероятностей и математической статистикезначений заведомо реализуется. Распределение вероятностей какой-либо Таблица показывает, как суммарная вероятность <tex>100\%</tex> распределяется по возможным значениям случайной величины задается .  Для непрерывных случайных величин задание закона распределения в простейшем случае указанием возможных значений этой величины и соответствующих им вероятностейвиде такой таблицы невозможно, в более сложных — тпоэтому его задают двумя другими способами: :#С помощью [[Дискретная_случайная_величина#.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8. нD1. функцией 8F|функции распределения или плотностью ]] <tex>F (x);</tex>:#С помощью [[Дискретная_случайная_величина#.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D0.BF.D0.BB.D0.BE.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D0.B2.D0.B5.D1.80.D0.BE.D1.8F.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.B9|плотности вероятности]] <tex>f (x).</tex>

* ===Биномиальное распределение(закон Бернулли)===* {{Определение|definition=Дискретная случайная величина <tex>\xi</tex> называется '''биномиальной''' (англ. ''binomial random variable'') с параметрами <tex>(n, p),</tex> если она принимает значения от <tex>0</tex> до <tex>n</tex> и вероятности вычисляются по формуле <tex>p_i = P(\xi = i) = \dbinom{n}{k} p^k q^{n - k},</tex> где <tex>i = 1, \ldots, n;</tex> <tex>q = 1 - p,</tex> <tex>p \in (0, 1).</tex>}} ===Нормальное распределение(распределение Гаусса)===* {{Определение|definition=Непрерывную случайную величину <tex>\xi</tex> называют '''нормальной''' (англ. ''normal deviate'') с параметрами <tex>(a, \sigma)</tex> и пишут <tex>\xi = N (a, \sigma),</tex> если ее плотность вероятности дается формулой<tex>f(x) = \dfrac {1} {\sigma \sqrt{2\pi}} {\large e^{-\frac {(x - a)^2} {2\sigma^2}}}.</tex>}} ===Равномерное распределение==={{Определение|definition=Непрерывная случайная величина <tex>\xi</tex> называется '''равномерно распределенной''' (англ. ''uniformly distributed random variable'') на <tex>[a, b],</tex> если ее плотность вероятности дается формулой

<center>$P(A_1)=\fracdfrac{3}{4}$ $,$ $P(A_2)=\fracdfrac{1}{4}$</center>можно из датчика случайных двоичных разрядов величин получить два двоичных разряда (два результата "честой честной монеты") $\delta_1$ и $\delta_2$ и, например, при $\delta_1 = \delta_2 = 1$ выработать исход $A_2$, а в остальных случаях $A_1$. 

<center>$P(A_1)=\fracdfrac{3}{16}$ $,$ $P(A_2)=\fracdfrac{1}{16}$ $,$ $P(A_3)=\fracdfrac{8}{16}$ $,$ $P(A_4)=\fracdfrac{4}{16}$</center>можно получить четыре двоичных разряда результата "честной монеты" $\delta_1$ $,$ $\delta_2$ $,$ $\delta_3$ $,$ $\delta_4$ и любым способом сопоставить трём из 16 возможных наборов исход $A_1$, одному $-$ $A_2$, восьми $-$ $A_3$, четырём $-$ $A_4$. 

:#Пусть все вероятности $n_i$ $-$ дроби со знаменателем $r$. Найдём $k$, для которого $r < 2^k$. Предложим схему с $k$ двоичными разрядамирезультатами "честной монеты", в которой $r$ наборов используются для выработки случайного исхода, а остальные $2^{k}-r$ наборов объявляются "неудачными" и требуют повторного эксперимента (пока не встретится удачный). Чем выше доля полезных исходов равная $r2^{-k}$, тем схема будет эффективнее. Количество случайных двоичных разрядов результатов "честной монеты" $\lambda$, которые необходимы для формирования случайного исхода, $-$ это случайная величина. Её математическое ожидание:<center>$E\lambda = \fracdfrac{1}{2}\cdot1+\fracdfrac{1}{4}\cdot2+\fracdfrac{1}{8}\cdot3+\fracdfrac{1}{16}\cdot3+\fracdfrac{1}{16}\cdot4 = 1\fracdfrac{7}{8}.$</center> Можно сделать схему более экономной, используя свойство датчиков случайных чисел формировать не отдельные двоичные разряды, а целые наборы их, например в виде числаесли использовать датчик, равномерно распределённого в формирующий число из диапазона $[0, 1]$. Образуем по данному набору вероятностей $p_i$ накопленные суммы $s_i$: , такие, что $s_0 = 0; s_i = s_{i-1} + p_i, $ для $i > 0$. Случайный исход будет вырабатываться так: по полученному из датчика случайному числу $\gamma$ определяется находится такой индекс $i$, для которого $s_{i-1} < \gamma \le leqslant s_i$. Найденное значение индекса $i$ и определяет исход $A_i$.Индекс $i$ можно определять непосредственно просмотром $s_i$ подряд.  Рассмотрим приведенный выше пример с четырьмя исходам. В данном случае суммы $s_0, \ldots, s_4$ будут принимать значения <tex>0,</tex> <tex>\dfrac{3}{16},</tex> <tex>\dfrac{4}{16},</tex> <tex>\dfrac{12}{16}</tex> и <tex>1</tex> соответственно. Значению $\gamma = 0,5$ будет соответствовать $i = 3$, то есть оно будет определять исход события $A_3.$ Таким же образом, $\gamma = 0,985$ определяет исход события $A_4.$ Если $k$ велико, можно применять специальные приёмы ускоренного поиска, например, деление множества индексов примерно пополам. ==Общий случай=={|class = "wikitable" style="text-align:center;"| рис. <tex>1</tex> || рис. <tex>2</tex> || рис. <tex>3</tex> |-|width = "280px"| [[Файл:Sim pic1.JPG|270px]] ||width = "280px"|[[Файл:Sim pic2.JPG‎|270px]] ||width = "280px"|[[Файл:Sim pic3.JPG‎|270px]] |} Допустим у нас есть распределение <tex>p.</tex> Нам нужно получить распределение <tex>q</tex>. Для начала рассмотрим случай, когда все <tex>p_i = \dfrac{1}{k},</tex> а в распределении <tex>q </tex> количество элементарных исходов равно <tex>2</tex> <tex>(</tex>рис. <tex>1).</tex>

Индекс $i$ можно определять непосредственно просмотром $s_i$ подрядПроводим эксперимент: если попадаем в область пересекающуюся с <tex> q_1 </tex> и <tex> q_2,</tex> то увеличиваем ее и повторяем эксперимент. На рис. <tex>1</tex> красным обозначено распределение <tex> q. </tex> Вероятность того, что на этом шаге эксперимент не закончится {{---}} <tex>\dfrac{1}{k}. Если $</tex> Математическое ожидание количества экспериментов {{---}} <tex> \dfrac{k}{k$ велико-1}, можно применять специальные приёмы ускоренного поиска, например, деление множества индексов примерно пополам max(\dfrac{k}{k-1}) = 2</tex> <tex>(</tex>при <tex>k = 2).</tex>

==Схема Уолкера==Если бы Теперь рассмотрим случай, когда все элементарные исходы имели одинаковые вероятности, моделировать такое распределение было бы очень просто. В такой ситуации достаточно разделить отрезок $[0, <tex>p_i</tex> по-прежнему равновероятны <tex>(p_i = \dfrac{1]$ на $}{k$ одинаковых частей}), соответствующих этим исходам, и определить, в какую часть отрезка попало значение случайного датчика $x$. А это выясняется очень просто: нужно взять целую часть произведения $k </tex>а количество элементарных исходов распределения <tex>q</tex> равно <tex>n (\sum\cdot x$. Такчто при исходах 0, 1, 2, 3 значению $x limits_{j= 0.333$ соответствует исход $1$,поскольку $4x }^{n}q_j = 1)</tex> <tex>(</tex>рис. <tex>2).332$</tex> Повторим эксперимент <tex> t </tex> раз.

Можно "подгонять" распределение под равномерное, передавая часть "вероятностной массы" от одних исходов другим. Если четыре исхода должны иметь вероятности, те же четыре исхода должны иметь вероятности, соответственно, $0.25$, $0.31$, $0.19$ и $0.25$, то исход $2$, получая, как все другие, долю $0.25$ и нуждаясь в доле $0.19$, может быть своеобразным "донором" и отдать исходу $1$, нуждающемуся в доле $0.31$, свои лишние шесть сотых. Эта передача воплощается в следующих действиях при генерировании случайного исхода: берется случайное число, например можможно использовать непосредственно дробную часть числа $<tex> k ^t \cdot x$geqslant 2n, и если это число меньше чем $0.19 t \geqslant \cdot 4 = 0.76$, то результатом будет исход $2$, а если больше, то исход $1$ (здесь случай равенства несуществен, его можно приписать к любой альтернативе). Эта передача обеспечит нужное увеличение доли для исхода $1$ и уменьшение $-$ для исхода $2$. Исход $1$ служит здесь "реципиентом" для "донора", исхода $2$.log\limits_{k}2n </tex>

Такую передачу "вероятностной массы" можно проводить в каждом диапазоне, причем если "владельцами диапазонов" удобно назначать различные исходы, то реципиентами разных диапазонов могут быть одни и те же исходыОтрезок разбился на <tex> k^t </tex> отрезков. НапримерСтык будет не более, взяв ту же схему с четырьмя исходами, назначим реципиентом при исходе $0$ исход $3$ с долей $0чем в половине отрезков.07$, приисходе $1$ $-$ исход $2$ с долей $0.11$, при исходе $2$ $-$ исход $3$ с долей $0.14$,наконец, при исходе $3$ $-$ исход $1$ с долей $0$. Подсчитаем окончательную вероятность получения каждого исхода:Математическое ожидание количества экспериментов <tex> \approx 2t <center/tex>$p_0 = 0.25- 0.07 = 0.18$,

$p_3 <tex>p_i, \sum\limits_{i}p_i = 0.25 + 0.07 + 0.14 1,</tex> <tex>q_j, \sum\limits_{j}q_j = 0.46$.1</centertex>

А создание по этой схеме очередного значения будет таким же простымБерем <tex>p_i</tex>, как и раньше: только в каждом диапазоне нужно будет решатьпусть оно максимальной длины <tex>(</tex>рис. <tex>3).</tex> Проводим <tex>t</tex> экспериментов. <tex>{p_i}^t < \dfrac{1}{2n}, какой выбирать исход, основной или дополнительный</tex> все остальные еще меньше. Сложность розыгрыша Суммарная длина отрезков не зависит от количества исходовбольше <tex>\dfrac{1}{2}.</tex> Нужно <tex> t \geqslant \log\limits_{p}\dfrac{1}{2n} .</tex>

Пример: Возьмем распределение $p_A = 0.07$Таким образом, $p_B = 0.31$, $p_C - 0.35$ и $p_D - 0.27$. Для него из любого исходного распределения мы можем получить:<center>{| class="wikitable"|-! Донор !! Барьер !! Реципиент !! Остаток у реципиента|-| A || $0.07 \cdot 4$ || B || $0.31 - 0.18 = 0.13$|-| B || $0.13 \cdot 4$ || D || $0.27 - 0.12 = 0.15$|-| D || $0.15 \cdot 4$ || C || $0.35 - 0.10 = 0.25$|-| C || $0.25 \cdot 4$ || A || $0$|}</center>При моделировании эти числа используются так: разыгрывается случайное число $x \in [0, 1]$, пусть получилось $x = 0.531$. Это число умножается на $k$: $0.531 \times 4 = 2.124$. Целая часть произведения определяет строку таблицы, считая от нуля, значит, третью сверху строку с основным исходом $D$ и дополнительным $C$. Дробная часть произведения $0.124$ сравнивается с барьером $0.6$, и так как барьер выше, то принимается основной исходнужное нам распределение.

==ЛитератураИсточники информации==*Боровков А.А. Математическая статистика: оценка параметров, проверка гипотез. {{- --}} М., Физматлит, 1984, {{---}} стр. 71.*[http://sheen.me/books/spec/apia.djvu Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн {{--- }} Алгоритмы. Построение и анализ 1244c{{---}} М. : ООО "И. Д. Вильямс", 2013. {{---}} 1328 с. {{---}} стр. 1254.]*Романовский И.В. Дискретный анализ{{---}} Элементы теории вероятностей и математической статистики (теория и задачи): учебное пособие. {{---}} Омск, издатель ИП Скорнякова Е.В., 2012. {{---}} 189 с. {{---}} стр. 34.  [[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Теория вероятности ]]