Изменения

{{Определение|definition =Пусть <tex>\xi</tex> является случайной величиной, а <tex>A</tex> {{---}} ее множеством значений. Функция <tex>P: 2^A \rightarrow \mathbb R,</tex> определенная как <tex>P(B) = P(\xi \in B),</tex> называется '''распределением случайной величины''' (англ. ''probability distribution''), то есть представляет собой набор вероятностей, с которыми случайная величина принимает те или иные значения. }}[[Файл:Распределение1_4РаспределениеUPD.JPG‎jpeg‎|200px|thumb|right|Геометрическое распределение с <tex>p = \dfrac {3} {4}</4tex>]]'''Распределение — '''Закон распределения дискретной случайной величины <tex>\xi</tex> задается таблицей: <tex>\xi: \begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \ldots & x_n \\ p_1 & p_2 & \ldots & p_n\end{pmatrix}, </tex> где <tex>x_1 < x_2 < \ldots < x_n</tex> {{---}} всевозможные значения величины <tex>\xi,</tex> а <tex>p_i(i = 1, \ldots, n)</tex> {{---}} их вероятности, то есть <tex>p_i = P(\xi = x_i).</tex> При этом должно выполняться равенство: <tex>p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1.</tex> Это равенство означает, что при испытании одно из основных понятий теории вероятностей и математической статистикезначений заведомо реализуется. Распределение вероятностей какой-либо Таблица показывает, как суммарная вероятность <tex>100\%</tex> распределяется по возможным значениям случайной величины задается .  Для непрерывных случайных величин задание закона распределения в простейшем случае указанием возможных значений этой величины и соответствующих им вероятностейвиде такой таблицы невозможно, в более сложных — тпоэтому его задают двумя другими способами: :#С помощью [[Дискретная_случайная_величина#.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8. нD1. функцией 8F|функции распределения или плотностью ]] <tex>F (x);</tex>:#С помощью [[Дискретная_случайная_величина#.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D0.BF.D0.BB.D0.BE.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D0.B2.D0.B5.D1.80.D0.BE.D1.8F.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.B9|плотности вероятности]] <tex>f (x).</tex>

* ===Биномиальное распределение(закон Бернулли)===* {{Определение|definition=Дискретная случайная величина <tex>\xi</tex> называется '''биномиальной''' (англ. ''binomial random variable'') с параметрами <tex>(n, p),</tex> если она принимает значения от <tex>0</tex> до <tex>n</tex> и вероятности вычисляются по формуле <tex>p_i = P(\xi = i) = \dbinom{n}{k} p^k q^{n - k},</tex> где <tex>i = 1, \ldots, n;</tex> <tex>q = 1 - p,</tex> <tex>p \in (0, 1).</tex>}} ===Нормальное распределение(распределение Гаусса)==={{Определение|definition=Непрерывную случайную величину <tex>\xi</tex> называют '''нормальной''' (англ. ''normal deviate'') с параметрами <tex>(a, \sigma)</tex> и пишут <tex>\xi = N (a, \sigma),</tex> если ее плотность вероятности дается формулой<tex>f(x) = \dfrac {1} {\sigma \sqrt{2\pi}} {\large e^{-\frac {(x - a)^2} {2\sigma^2}}}.</tex>}} * ===Равномерное распределение==={{Определение|definition=Непрерывная случайная величина <tex>\xi</tex> называется '''равномерно распределенной''' (англ. ''uniformly distributed random variable'') на <tex>[a, b],</tex> если ее плотность вероятности дается формулой <tex>f(x)=\begin{cases}\dfrac {1} {b - a}, & \mbox{if } x \in [a, b] \\0, & \mbox{otherwise.}\end{cases}</tex>}}

Рассмотрим следующий случайДля того, чтобы создать необходимое распределение вероятностей, достаточно иметь последовательность независимых случайных величин типа "честной монеты". Допустим Например, у нас есть честная монета. А нам надо получить распределения для создания схемы с вероятностями <tex>1/двумя исходами $A_1$ и $A_2$:$P(A_1)=\dfrac{3</tex>. Проведем следующий эксперимент: подкинем монету дважды}{4}$ $, $ $P(A_2)=\dfrac{1}{4}$можно из датчика случайных двоичных величин получить два результата "честной монеты" $\delta_1$ и $\delta_2$ и, если выпадет два раза орелнапример, эксперимент не удалсяпри $\delta_1 = \delta_2 = 1$ выработать исход $A_2$, повторим егоа в остальных случаях $A_1$.Предположим, что у нас есть последовательность таких экспериментов. Вероятность успеха <tex dpi = "140">p Аналогично для схемы с четырьмя исходами$P(A_1)= \fracdfrac{3}{416}</tex>. Вероятность неудачи <tex dpi = "140">q $ $,$ $P(A_2)= \dfrac{1 - p }{16}$ $,$ $P(A_3)= \fracdfrac{18}{16}$ $,$ $P(A_4)=\dfrac{4}</tex> Сколько экспериментов будет проведено до того{16}$можно получить четыре результата "честной монеты" $\delta_1$ $,$ $\delta_2$ $, как будет достигнут успех? Пусть случайная величина <tex>X</tex> равна количеству экспериментов$ $\delta_3$ $, необходимых для достижения успеха. Тогда <tex>X</tex> принимает значения <tex>$ $\{1delta_4$ и любым способом сопоставить трём из 16 возможных наборов исход $A_1$, одному $-$ $A_2$, восьми $-$ $A_3$,четырём $-$ $A_4$. Если же вероятности исходов не кратны $2^{-k}$,можно применить два различных варианта действий.:#Можно приблизить вероятности двоичными дробями (с любой точностью), далее работать с полученными приближёнными значениями:#Пусть все вероятности $n_i$ $-$ дроби со знаменателем $r$..\}</tex> и Найдём $k$, для которого $r <tex> 2^k$. Предложим схему с $k \ge 1 </tex>: <tex dpi = $ результатами "140честной монеты">, в которой $r$ наборов используются для выработки случайного исхода, а остальные $2^{pk}-r$ наборов объявляются "неудачными" и требуют повторного эксперимента (X = kпока не встретится удачный) = q. Чем выше доля полезных исходов равная $r2^{-k-1}p</tex>$,тем схема будет эффективнее. поскольку перед наступлением успешного эксперимента было проведено <tex> k - 1 </tex> неуспешных. Распределение вероятностиКоличество результатов "честной монеты" $\lambda$, удовлетворяющее этому уравнениюкоторые необходимы для формирования случайного исхода, называется геометрическим распределением$-$ это случайная величина.Так как <tex> q < 1 </tex>, можно посчитать Её математическое ожидание геометрического распределения: : <tex dpi = "140">$E(X) \lambda = \sum\limits_dfrac{k = 01}^{2}\inftycdot1+\dfrac{1}kq^{k-14}p = \fraccdot2+\dfrac{p1}{q8}\sumcdot3+\limits_dfrac{k = 01}^{16}\cdot3+\inftydfrac{1}kq^{k16} \cdot4 = 1\fracdfrac{p7}{q8} \frac{q}{(.$ Можно сделать схему более экономной, если использовать датчик, равномерно формирующий число из диапазона $[0, 1 - q)^{2}} ]$. Образуем по данному набору вероятностей $p_i$ накопленные суммы $s_i$, такие, что $s_0 = 0; s_i = \fracs_{i-1}{p} =+ p_i,$ для $i > 0$. Случайный исход будет вырабатываться так: по полученному из датчика случайному числу $\fracgamma$ находится такой индекс $i$, для которого $s_{i-1}{< \gamma \leqslant s_i$. Найденное значение индекса $i$ и определяет исход $A_i$. Индекс $i$ можно определять непосредственно просмотром $s_i$ подряд.  Рассмотрим приведенный выше пример с четырьмя исходам. В данном случае суммы $s_0, \ldots, s_4$ будут принимать значения <tex>0,</tex> <tex>\fracdfrac{3}{416}} = ,</tex> <tex>\fracdfrac{4}{316}. ,</tex>Дисперсия вычисляется аналогично:: <tex dpi = "140">D(X) = \fracdfrac{q12}{p^{2}16} </tex> и <tex>1</tex> соответственно. Значению $\gamma = 0,5$ будет соответствовать $i = 3$, то есть оно будет определять исход события $A_3.$ Таким же образом, $\fracgamma = 0,985$ определяет исход события $A_4.$ Если $k$ велико, можно применять специальные приёмы ускоренного поиска, например, деление множества индексов примерно пополам. ==Общий случай=={4}{9} |class = "wikitable" style="text-align:center;"| рис. <tex>1</tex> || рис. <tex>2</tex> || рис. <tex>3</tex>Обобщим|-|width = "280px"| [[Файл:Sim pic1.JPG|270px]] ||width = "280px"|[[Файл:Sim pic2.JPG‎|270px]] ||width = "280px"|[[Файл:Sim pic3.JPG‎|270px]] |} Допустим, у нас есть распределение <tex>p.</tex>. Нам нужно получить распределение <tex>q</tex>:. * Для начала, рассмотрим случай, когда все <tex>p_i = \fracdfrac{1}{k},</tex>, а в распределениии распределении <tex>q </tex> количество элементарных исходов равно <tex>2</tex> <tex>(</tex>рис. <tex>1).</tex> Проводим эксперимент, : если попадаем в область, пересекающуюся с <tex>q_1</tex> и <tex>q_2,</tex>, то увеличиваем её ее и повторяем эксперимент. На рисунке ниже рис. <tex>1</tex> красным обозначенно обозначено распределение <tex>q. </tex>. Вероятность того, что на этом шаге эксперимент не закончится {{---}} <tex>\fracdfrac{1}{k}.</tex>. Математическое ожидание количества экспериментов {{---}} <tex> \fracdfrac{k}{k-1}, max(\fracdfrac{k}{k-1}) = 2 </tex> <tex>(</tex>при <tex>k = 2) .</tex>[[Файл:Sim pic1.JPG‎|400px]]* Теперь рассмотрим случай, когда все элементарные исходы <tex>p_i</tex> по -прежнему равновероятны <tex>(p_i = \fracdfrac{1}{k}),</tex>, а количество элементарных исходов распределения <tex>q</tex> равно <tex>n (\sum\limits_{j=1}^{n}q_j = 1)</tex> <tex>(</tex>рис. <tex>2). </tex> Повторим эксперимент <tex>t</tex> раз.  <tex> k^t \ge geqslant 2n, t \ge geqslant \log\limits_{k}2n </tex>.  Отрезок разбился на <tex> k^t </tex> отрезков. Стык будет не более, чем в половине отрезков. Математическое ожидание количества экспериментов <tex> \approx 2t </tex>[[Файл:Sim pic2.JPG‎|400px]]*  <tex>p_i, \sum\limits_{i}p_i = 1, </tex> <tex>q_j, \sum\limits_{j}q_j = 1. </tex>  Берем <tex> p_i </tex>, и пусть оно максимальной длины<tex>(</tex>рис. <tex>3). </tex> Проводим <tex> t </tex> экспериментов. <tex>{p_i}^t < \fracdfrac{1}{2n}, </tex>, все остальные еще меньше. Суммарная длина отрезков не больше <tex>\fracdfrac{1}{2}.</tex>. Нужно <tex> t \ge geqslant \log\limits_{p}\fracdfrac{1}{2n} .</tex> [[Файл:Sim pic3.JPG‎|400px]]Вывод: Таким образом, из любого исходного распределения можно мы можем получить любое нужное нам распределение.

==ЛитератураИсточники информации==*Боровков А.А. Математическая статистика: оценка параметров, проверка гипотез. {{- --}} М., Физматлит, 1984, {{---}} стр. 71.*[http://sheen.me/books/spec/apia.djvu Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн {{-- -}} Алгоритмы. Построение и анализ 1244c{{---}} М. : ООО "И. Д. Вильямс", 2013.{{---}} 1328 с. {{---}} стр. 1254.]*Романовский И. В. {{---}} Элементы теории вероятностей и математической статистики (теория и задачи): учебное пособие. {{---}} Омск, издатель ИП Скорнякова Е.В., 2012. {{---}} 189 с. {{---}} стр. 34.  [[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Теория вероятности ]]