1632
правки
Изменения
м
'''Распределение вероятностей''' Пусть <tex>\xi</tex> является случайной величиной, а <tex>A</tex> {{---}} законее множеством значений. Функция <tex>P: 2^A \rightarrow \mathbb R,</tex> определенная как <tex>P(B) = P(\xi \in B), описывающий область значений </tex> называется '''распределением случайной величины и вероятность их исхода''' (англ. ''probability distribution''), то есть представляет собой набор вероятностей, с которыми случайная величина принимает те или иные значения. }}[[Файл:Распределение1_4РаспределениеUPD.JPGjpeg|200px|thumb|right|Геометрическое распределение с <tex>p = \dfrac {3} {4}</tex>]] Закон распределения дискретной случайной величины <tex>\xi</tex> задается таблицей:
Законом распределения дискретной случайной величины <tex>\xi</tex> называется таблица:
<tex>1.</tex> :#С помощью [[Дискретная_случайная_величина#.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F|функции распределения]] <tex>F (x);</tex> <tex>2.</tex> :#С помощью [[Дискретная_случайная_величина#.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D0.BF.D0.BB.D0.BE.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D0.B2.D0.B5.D1.80.D0.BE.D1.8F.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.B9|плотности вероятности]] <tex>f (x).</tex>
$E\lambda = \dfrac{1}{2}\cdot1+\dfrac{1}{4}\cdot2+\dfrac{1}{8}\cdot3+\dfrac{1}{16}\cdot3+\dfrac{1}{16}\cdot4 = 1\dfrac{7}{8}$
Можно сделать схему более экономной, используя свойство датчика случайных чисел формировать не отдельные результаты "честной монеты", а целые наборы их, например в виде числа, равномерно распределённого в $[0, 1]$. Образуем по данному набору вероятностей $p_i$ накопленные суммы $s_i$: $s_0 = 0; s_i = s_{i-1} + p_i, i > 0$. Случайный исход будет вырабатываться так: по полученному из датчика случайному числу $\gamma$ определяется такой индекс $i$, для которого $s_{i-1} < \gamma \leqslant s_i$. Найденное значение индекса $i$ и определяет исход $A_i$.
[[ФайлПроводим эксперимент:Sim pic2если попадаем в область пересекающуюся с <tex> q_1 </tex> и <tex> q_2,</tex> то увеличиваем ее и повторяем эксперимент. На рис.JPG|170px|right|thumb|Количество элементарных исходов распределения <tex>1</tex> красным обозначено распределение <tex> q равно n]]. </tex> Вероятность того, что на этом шаге эксперимент не закончится {{---}} <tex>\dfrac{1}{k}.</tex> Математическое ожидание количества экспериментов {{---}} <tex> \dfrac{k}{k-1}, max(\dfrac{k}{k-1}) = 2</tex> <tex>(</tex>при <tex>k = 2).</tex> Теперь рассмотрим случай, когда все элементарные исходы <tex>p_i</tex> по-прежнему равновероятны <tex>(p_i = \dfrac{1}{k}),</tex>а количество элементарных исходов распределения <tex>q</tex> равно <tex>n (\sum\limits_{j=1}^{n}q_j = 1)</tex> <tex>(</tex>рис. <tex>2).</tex> Повторим эксперимент <tex> t </tex> раз.
[[Файл:Sim pic3.JPG|170px|left|thumb]]
<tex>p_i, \sum\limits_{i}p_i = 1,</tex>
<tex>q_j, \sum\limits_{j}q_j = 1</tex>
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition =
<tex>\xi: \begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & \ldots & x_n \\
Для непрерывных случайных величин задание закона распределения в виде такой таблицы невозможно, поэтому его задают двумя другими способами:
==Примеры распределений==
{{Определение
|definition=
Дискретная случайная величина <tex>\xi</tex> называется '''биномиальной''' (англ. ''binomial random variable'') с параметрами <tex>(n, p),</tex> если она принимает значения от <tex>0</tex> до <tex>n</tex> и вероятности вычисляются по формуле <tex>p_i = P(\xi = i) = \dbinom{n}{k} p^k q^{n - k},</tex> где <tex>i = 1, \ldots, n;</tex> <tex>q = 1 - p,</tex> <tex>p \in (0, 1).</tex>}}
===Нормальное распределение (распределение Гаусса)===
{{Определение
|definition=
Непрерывную случайную величину <tex>\xi </tex> называют '''нормальной''' (англ. ''normal deviate'') с параметрами <tex>(a, \sigma)</tex> и пишут <tex>\xi = N (a, \sigma),</tex> если ее плотность вероятности дается формулой
<tex>f(x) = \dfrac {1} {\sigma \sqrt{2\pi}} {\large e^{-\frac {(x - a)^2} {2\sigma^2}}}.</tex>}}
===Равномерное распределение===
{{Определение
|definition=
Непрерывная случайная величина <tex>\xi</tex> называется '''равномерно распределенной''' (англ. ''uniformly distributed random variable'') на <tex>[a, b],</tex> если ее плотность вероятности дается формулой
<tex>
==Симуляция распределений==
Для того, чтобы создать необходимое распределение вероятностей, достаточно иметь последовательность независимых случайных величин типа "честной монеты".
Например, для создания схемы с двумя исходами $A_1$ и $A_2$:
$P(A_1)=\dfrac{3}{4}$ $,$ $P(A_2)=\dfrac{1}{4}$
можно из датчика случайных двоичных величин получить два результата "честной монеты" $\delta_1$ и $\delta_2$ и, например, при $\delta_1 = \delta_2 = 1$ выработать исход $A_2$, а в остальных случаях $A_1$.
Аналогично для схемы с четырьмя исходами
$P(A_1)=\dfrac{3}{16}$ $,$ $P(A_2)=\dfrac{1}{16}$ $,$ $P(A_3)=\dfrac{8}{16}$ $,$ $P(A_4)=\dfrac{4}{16}$
можно получить четыре результата "честной монеты" $\delta_1$ $,$ $\delta_2$ $,$ $\delta_3$ $,$ $\delta_4$ и любым способом сопоставить трём из 16 возможных наборов исход $A_1$, одному $-$ $A_2$, восьми $-$ $A_3$, четырём $-$ $A_4$.
Если же вероятности исходов не кратны $2^{-k}$, можно применить два различных варианта действий.
:#Можно приблизить вероятности двоичными дробями (с любой точностью), далее работать с полученными приближёнными значениями
:#Пусть все вероятности $n_i$ $-$ дроби со знаменателем $r$. Найдём $k$, для которого $r < 2^k$. Предложим схему с $k$ результатами "честной монеты", в которой $r$ наборов используются для выработки случайного исхода, а остальные $2^{k}-r$ наборов объявляются "неудачными" и требуют повторного эксперимента (пока не встретится удачный). Чем выше доля полезных исходов равная $r2^{-k}$, тем схема будет эффективнее.
Количество результатов "честной монеты" $\lambda$, которые необходимы для формирования случайного исхода, $-$ это случайная величина. Её математическое ожидание:
$E\lambda = \dfrac{1}{2}\cdot1+\dfrac{1}{4}\cdot2+\dfrac{1}{8}\cdot3+\dfrac{1}{16}\cdot3+\dfrac{1}{16}\cdot4 = 1\dfrac{7}{8}.$ Можно сделать схему более экономной, если использовать датчик, равномерно формирующий число из диапазона $[0, 1]$. Образуем по данному набору вероятностей $p_i$ накопленные суммы $s_i$, такие, что $s_0 = 0; s_i = s_{i-1} + p_i,$ для $i > 0$. Случайный исход будет вырабатываться так: по полученному из датчика случайному числу $\gamma$ находится такой индекс $i$, для которого $s_{i-1} < \gamma \leqslant s_i$. Найденное значение индекса $i$ и определяет исход $A_i$. Индекс $i$ можно определять непосредственно просмотром $s_i$ подряд. Рассмотрим приведенный выше пример с четырьмя исходам. В данном случае суммы $s_0, \ldots, s_4$ будут принимать значения <tex>0,</tex> <tex>\dfrac{3}{16},</tex> <tex>\dfrac{4}{16},</tex> <tex>\dfrac{12}{16}</tex> и <tex>1</tex> соответственно. Значению $\gamma = 0,5$ будет соответствовать $i = 3$, то есть оно будет определять исход события $A_3.$ Таким же образом, $\gamma = 0,985$ определяет исход события $A_4.$ Если $k$ велико, можно применять специальные приёмы ускоренного поиска, например, деление множества индексов примерно пополам.
==Общий случай==
{|class = "wikitable" style="text-align:center;"| рис. <tex>1</tex> || рис. <tex>2</tex> || рис. <tex>3</tex> |-|width = "280px"| [[Файл:Sim pic1.JPG|270px]] ||width = "280px"|[[Файл:Sim pic2.JPG|170px270px]] |left|thumbwidth = "280px"|В распределении q количество элементарных исходов равно 2[[Файл:Sim pic3.JPG|270px]]|}
Допустим у нас есть распределение <tex>p.</tex> Нам нужно получить распределение <tex>q</tex>.
Для начала рассмотрим случай, когда все <tex>p_i = \dfrac{1}{k},</tex> а в распределении <tex>q </tex> количество элементарных исходов равно <tex>2.</tex> Проводим эксперимент: если попадаем в область пересекающуюся с <tex> q_1 </tex> и <tex> q_2,(</tex> то увеличиваем ее и повторяем экспериментрис. На рисунке слева красным обозначенно распределение <tex> q. </tex> Вероятность того, что на этом шаге эксперимент не закончится {{---}} <tex>\dfrac{1}{k}).</tex> Математическое ожидание количества экспериментов {{---}} <tex> \dfrac{k}{k-1}, max(\dfrac{k}{k-1}) = 2 (</tex>при <tex>k = 2) </tex>
<tex> k^t \geqslant 2n, t \geqslant \log\limits_{k}2n </tex>
Отрезок разбился на <tex> k^t </tex> отрезков. Стык будет не более, чем в половине отрезков. Математическое ожидание количества экспериментов <tex> \approx 2t </tex>
<tex>p_i, \sum\limits_{i}p_i = 1,</tex> <tex>q_j, \sum\limits_{j}q_j = 1</tex> Берем <tex>p_i</tex>, и пусть оно максимальной длины<tex>(</tex>рис. <tex>3). </tex> Проводим <tex>t</tex> экспериментов. <tex>{p_i}^t < \dfrac{1}{2n}, </tex> все остальные еще меньше. Суммарная длина отрезков не больше <tex>\dfrac{1}{2}.</tex> Нужно <tex> t \geqslant \log\limits_{p}\dfrac{1}{2n} .</tex>
Таким образом, из любого исходного распределения можно мы можем получить нужное нам распределение.
==См. также==
*[[Дисперсия случайной величины]]
==ЛитератураИсточники информации==
*Боровков А.А. Математическая статистика: оценка параметров, проверка гипотез. {{---}} М., Физматлит, 1984, {{---}} стр. 71.
*[http://sheen.me/books/spec/apia.djvu Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн {{---}} Алгоритмы. Построение и анализ {{---}} М. : ООО "И. Д. Вильямс", 2013. {{---}} 1328 с. {{---}} стр. 1254.]
