Изменения

{{Определение|definition =Пусть <tex>\xi</tex> является случайной величиной, а <tex>A</tex> {{---}} ее множеством значений. Функция <tex>P: 2^A \rightarrow \mathbb R,</tex> определенная как <tex>P(B) = P(\xi \in B),</tex> называется '''распределением случайной величины'''(англ. 'Распределение — 'probability distribution''одно из основных понятий теории ), то есть представляет собой набор вероятностей и математической статистики, с которыми случайная величина принимает те или иные значения. }}[[Файл:РаспределениеUPD. Распределение вероятностей какой-либо jpeg‎|200px|thumb|right|Геометрическое распределение с <tex>p = \dfrac {3} {4}</tex>]] Закон распределения дискретной случайной величины <tex>\xi</tex> задается в простейшем случае указанием возможных таблицей: <tex>\xi: \begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \ldots & x_n \\ p_1 & p_2 & \ldots & p_n\end{pmatrix}, </tex> где <tex>x_1 < x_2 < \ldots < x_n</tex> {{---}} всевозможные значения величины <tex>\xi,</tex> а <tex>p_i(i = 1, \ldots, n)</tex> {{---}} их вероятности, то есть <tex>p_i = P(\xi = x_i).</tex> При этом должно выполняться равенство: <tex>p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1.</tex> Это равенство означает, что при испытании одно из значений этой заведомо реализуется. Таблица показывает, как суммарная вероятность <tex>100\%</tex> распределяется по возможным значениям случайной величины и соответствующих им вероятностей.  Для непрерывных случайных величин задание закона распределения в виде такой таблицы невозможно, в более сложных — тпоэтому его задают двумя другими способами: :#С помощью [[Дискретная_случайная_величина#.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8. нD1. функцией 8F|функции распределения или плотностью ]] <tex>F (x);</tex>:#С помощью [[Дискретная_случайная_величина#.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D0.BF.D0.BB.D0.BE.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D0.B2.D0.B5.D1.80.D0.BE.D1.8F.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.B9|плотности вероятности]] <tex>f (x).</tex>

* ===Биномиальное распределение(закон Бернулли)===* {{Определение|definition=Дискретная случайная величина <tex>\xi</tex> называется '''биномиальной''' (англ. ''binomial random variable'') с параметрами <tex>(n, p),</tex> если она принимает значения от <tex>0</tex> до <tex>n</tex> и вероятности вычисляются по формуле <tex>p_i = P(\xi = i) = \dbinom{n}{k} p^k q^{n - k},</tex> где <tex>i = 1, \ldots, n;</tex> <tex>q = 1 - p,</tex> <tex>p \in (0, 1).</tex>}} ===Нормальное распределение(распределение Гаусса)==={{Определение|definition=Непрерывную случайную величину <tex>\xi</tex> называют '''нормальной''' (англ. ''normal deviate'') с параметрами <tex>(a, \sigma)</tex> и пишут <tex>\xi = N (a, \sigma),</tex> если ее плотность вероятности дается формулой<tex>f(x) = \dfrac {1} {\sigma \sqrt{2\pi}} {\large e^{-\frac {(x - a)^2} {2\sigma^2}}}.</tex>}} * ===Равномерное распределение==={{Определение|definition=Непрерывная случайная величина <tex>\xi</tex> называется '''равномерно распределенной''' (англ. ''uniformly distributed random variable'') на <tex>[a, b],</tex> если ее плотность вероятности дается формулой <tex>f(x)=\begin{cases}\dfrac {1} {b - a}, & \mbox{if } x \in [a, b] \\0, & \mbox{otherwise.}\end{cases}</tex>}}

Рассмотрим следуйщий случайДля того, чтобы создать необходимое распределение вероятностей, достаточно иметь последовательность независимых случайных величин типа "честной монеты". Допустим Например, у нас есть чесная монета. А нам надо получить распределения для создания схемы с вероятностьями <tex>1/3</tex>. Проведем слдующий эксперимент. Подкинем монету дважды. И если выпадет два раза орел - эксперимент не удался, повторим его.двумя исходами $A_1$ и $A_2$:По формуле условной вероятности $P(при условии, что как минимум одна монета выпала решкойA_1): <tex dpi = "140">\dfrac{3}{p4}$ $,$ $P(A \mid BA_2) = </tex> \dfrac{1}{4}$можно из датчика случайных двоичных величин получить два <tex dpi = результата "140честной монеты"> $\delta_1$ и $\delta_2$ и, например, при $\delta_1 = \delta_2 = 1$ выработать исход $A_2$, а в остальных случаях $A_1$. Аналогично для схемы с четырьмя исходами$P(A_1)=\fracdfrac{3}{p16}$ $,$ $P(AA_2)=\cap B)dfrac{1}{{p16}$ $,$ $P(BA_3)}</tex>.Предположим, что у нас есть последовательность экспериментов. Вероятность успеха <tex dpi = "140">p = \fracdfrac{38}{416}</tex>. Вероятность неудачи <tex dpi = "140">q = 1 - p $ $,$ $P(A_4)= \fracdfrac{14}{416}</tex> Сколько экспериментов будет проведено до того$можно получить четыре результата "честной монеты" $\delta_1$ $,$ $\delta_2$ $, как будет достигнут успех? Пусть случайная величина <tex>X</tex> равна количествуэкспериментов$ $\delta_3$ $, необходимых для достижения успеха. Тогда <tex>X</tex> принимает значения <tex>$ $\{1delta_4$ и любым способом сопоставить трём из 16 возможных наборов исход $A_1$, одному $-$ $A_2$, восьми $-$ $A_3$,четырём $-$ $A_4$. Если же вероятности исходов не кратны $2^{-k}$,можно применить два различных варианта действий.:#Можно приблизить вероятности двоичными дробями (с любой точностью), далее работать с полученными приближёнными значениями:#Пусть все вероятности $n_i$ $-$ дроби со знаменателем $r$..\}</tex> и Найдём $k$, для которого $r <tex> 2^k$. Предложим схему с $k \ge 1 </tex>: <tex dpi = $ результатами "140честной монеты">, в которой $r$ наборов используются для выработки случайного исхода, а остальные $2^{pk}-r$ наборов объявляются "неудачными" и требуют повторного эксперимента (X = kпока не встретится удачный) = q. Чем выше доля полезных исходов равная $r2^{-k-1}p$,</tex>тем схема будет эффективнее. поскольку перед наступлением успешного эксперимента было проведено <tex> k Количество результатов "честной монеты" $\lambda$, которые необходимы для формирования случайного исхода, $- 1 </tex> неуспешных$ это случайная величина. Распределение вероятности, удовлетворяющее этому уравнению называется геометрическим распределением.Так как <tex> q < 1 </tex> можно посчитать Её математическое ожидание геометрического распределения. : : <tex dpi = "140">$E(X) \lambda = \sum\limits_dfrac{k = 01}^{2}\cdot1+\inftydfrac{1}kq^{k-14}p = \fraccdot2+\dfrac{p1}{q8}\sumcdot3+\limits_dfrac{k = 01}^{16}\cdot3+\inftydfrac{1}kq^{k16} \cdot4 = 1\fracdfrac{p7}{q8} \frac{q}{(.$ Можно сделать схему более экономной, если использовать датчик, равномерно формирующий число из диапазона $[0, 1 - q)^{2}} ]$. Образуем по данному набору вероятностей $p_i$ накопленные суммы $s_i$, такие, что $s_0 = 0; s_i = \fracs_{i-1}{p} =+ p_i,$ для $i > 0$. Случайный исход будет вырабатываться так: по полученному из датчика случайному числу $\fracgamma$ находится такой индекс $i$, для которого $s_{i-1}{< \gamma \leqslant s_i$. Найденное значение индекса $i$ и определяет исход $A_i$. Индекс $i$ можно определять непосредственно просмотром $s_i$ подряд.  Рассмотрим приведенный выше пример с четырьмя исходам. В данном случае суммы $s_0, \ldots, s_4$ будут принимать значения <tex>0,</tex> <tex>\fracdfrac{3}{416}} = ,</tex> <tex>\fracdfrac{4}{316}. ,</tex>Дисперсия вычисляется аналогично.: <tex dpi = "140">D(X) = \fracdfrac{q12}{p^{2}} = \frac{4}{916} </tex>и <tex>1</tex> соответственно. Значению $\gamma = 0,5$ будет соответствовать $i = 3$, то есть оно будет определять исход события $A_3.$ Таким же образом, $\gamma = 0,985$ определяет исход события $A_4.$ Если $k$ велико, можно применять специальные приёмы ускоренного поиска, например, деление множества индексов примерно пополам.

==ЛитератураИсточники информации==*Боровков А.А. Математическая статистика: оценка параметров, проверка гипотез. {{- --}} М., Физматлит, 1984, {{---}} стр. - 472 с71.*[http://sheen.me/books/spec/apia.djvu Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн {{--- }} Алгоритмы. Построение и анализ{{---}} М. : ООО "И. Д. Вильямс", 2013. {{---}} 1328 с. {{---}} стр. 1254.]*Романовский И. В. {{---}} Элементы теории вероятностей и математической статистики (теория и задачи): учебное пособие. {{---}} Омск, издатель ИП Скорнякова Е.В., 2012. {{---}} 189 с. {{---}} стр. 34.  [[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Теория вероятности ]]