Изменения

{{Определение|definition =Пусть <tex>\xi</tex> является случайной величиной, а <tex>A</tex> {{---}} ее множеством значений. Функция <tex>P: 2^A \rightarrow \mathbb R,</tex> определенная как <tex>P(B) = P(\xi \in B),</tex> называется '''распределением случайной величины''' (англ. ''probability distribution''), то есть представляет собой набор вероятностей, с которыми случайная величина принимает те или иные значения. }}[[Файл:Распределение1_4РаспределениеUPD.JPG‎jpeg‎|200px|thumb|right|Геометрическое распределение с <tex>p = \dfrac {3} {4}</4tex>]]'''Распределение — '''Закон распределения дискретной случайной величины <tex>\xi</tex> задается таблицей: <tex>\xi: \begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \ldots & x_n \\ p_1 & p_2 & \ldots & p_n\end{pmatrix}, </tex> где <tex>x_1 < x_2 < \ldots < x_n</tex> {{---}} всевозможные значения величины <tex>\xi,</tex> а <tex>p_i(i = 1, \ldots, n)</tex> {{---}} их вероятности, то есть <tex>p_i = P(\xi = x_i).</tex> При этом должно выполняться равенство: <tex>p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1.</tex> Это равенство означает, что при испытании одно из основных понятий теории вероятностей и математической статистикизначений заведомо реализуется. Распределение вероятностей какой-либо Таблица показывает, как суммарная вероятность <tex>100\%</tex> распределяется по возможным значениям случайной величины задается .  Для непрерывных случайных величин задание закона распределения в простейшем случае указанием возможных значений этой величины и соответствующих им вероятностейвиде такой таблицы невозможно, в более сложных — тпоэтому его задают двумя другими способами: :#С помощью [[Дискретная_случайная_величина#.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8. нD1. функцией 8F|функции распределения или плотностью ]] <tex>F (x);</tex>:#С помощью [[Дискретная_случайная_величина#.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D0.BF.D0.BB.D0.BE.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D0.B2.D0.B5.D1.80.D0.BE.D1.8F.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.B9|плотности вероятности]] <tex>f (x).</tex>

* ===Биномиальное распределение(закон Бернулли)===* {{Определение|definition=Дискретная случайная величина <tex>\xi</tex> называется '''биномиальной''' (англ. ''binomial random variable'') с параметрами <tex>(n, p),</tex> если она принимает значения от <tex>0</tex> до <tex>n</tex> и вероятности вычисляются по формуле <tex>p_i = P(\xi = i) = \dbinom{n}{k} p^k q^{n - k},</tex> где <tex>i = 1, \ldots, n;</tex> <tex>q = 1 - p,</tex> <tex>p \in (0, 1).</tex>}} ===Нормальное распределение(распределение Гаусса)==={{Определение|definition=Непрерывную случайную величину <tex>\xi</tex> называют '''нормальной''' (англ. ''normal deviate'') с параметрами <tex>(a, \sigma)</tex> и пишут <tex>\xi = N (a, \sigma),</tex> если ее плотность вероятности дается формулой<tex>f(x) = \dfrac {1} {\sigma \sqrt{2\pi}} {\large e^{-\frac {(x - a)^2} {2\sigma^2}}}.</tex>}} * ===Равномерное распределение==={{Определение|definition=Непрерывная случайная величина <tex>\xi</tex> называется '''равномерно распределенной''' (англ. ''uniformly distributed random variable'') на <tex>[a, b],</tex> если ее плотность вероятности дается формулой <tex>f(x)=\begin{cases}\dfrac {1} {b - a}, & \mbox{if } x \in [a, b] \\0, & \mbox{otherwise.}\end{cases}</tex>}}

Рассмотрим следующий случай. ДопустимДля того, у нас есть честная монета. А нам надо получить распределения с вероятностями <tex>1/3</tex>. Проведем следующий эксперимент. Подкинем монету дважды. И если выпадет два раза орел - эксперимент не удалсячтобы создать необходимое распределение вероятностей, повторим егодостаточно иметь последовательность независимых случайных величин типа "честной монеты".ПредположимНапример, что у нас есть последовательность экспериментов. Вероятность успеха <tex dpi = "140">p для создания схемы с двумя исходами $A_1$ и $A_2$:$P(A_1)= \fracdfrac{3}{4}</tex>. Вероятность неудачи <tex dpi = "140">q = 1 - p $ $,$ $P(A_2)= \fracdfrac{1}{4}</tex> Сколько экспериментов будет проведено до того$можно из датчика случайных двоичных величин получить два результата "честной монеты" $\delta_1$ и $\delta_2$ и, как будет достигнут успех? Пусть случайная величина <tex>X</tex> равна количествуэкспериментовнапример, необходимых для достижения успеха. Тогда <tex>X</tex> принимает значения <tex>при $\delta_1 = \{delta_2 = 1$ выработать исход $A_2$,2,..а в остальных случаях $A_1$. Аналогично для схемы с четырьмя исходами$P(A_1)=\dfrac{3}{16}</tex> и для <tex> k $ $,$ $P(A_2)=\ge dfrac{1 </tex>: <tex dpi }{16}$ $,$ $P(A_3)= "140">\dfrac{8}{p16}$ $,$ $P(X = kA_4) = q^\dfrac{4}{k16}$можно получить четыре результата "честной монеты" $\delta_1$ $,$ $\delta_2$ $,$ $\delta_3$ $,$ $\delta_4$ и любым способом сопоставить трём из 16 возможных наборов исход $A_1$, одному $-$ $A_2$, восьми $-1}p$ $A_3$,</tex>поскольку перед наступлением успешного эксперимента было проведено <tex> k четырём $- 1 </tex> неуспешных$ $A_4$. Распределение  Если же вероятностиисходов не кратны $2^{-k}$, удовлетворяющее этому уравнению называется геометрическим распределениемможно применить два различных варианта действий.Так как <tex> q < 1 </tex> можно посчитать математическое ожидание геометрического распределения. :#Можно приблизить вероятности двоичными дробями (с любой точностью), далее работать с полученными приближёнными значениями: #Пусть все вероятности $n_i$ $-$ дроби со знаменателем $r$. Найдём $k$, для которого $r <tex dpi = 2^k$. Предложим схему с $k$ результатами "честной монеты", в которой $r$ наборов используются для выработки случайного исхода, а остальные $2^{k}-r$ наборов объявляются "140неудачными">Eи требуют повторного эксперимента (Xпока не встретится удачный) = \sum\limits_. Чем выше доля полезных исходов равная $r2^{-k = 0}^{$, тем схема будет эффективнее. Количество результатов "честной монеты" $\infty}kq^{klambda$, которые необходимы для формирования случайного исхода, $-1}p $ это случайная величина. Её математическое ожидание: $E\lambda = \fracdfrac{p1}{q2}\sumcdot1+\limits_dfrac{k = 01}^{4}\cdot2+\inftydfrac{1}kq^{k8} = \fraccdot3+\dfrac{p1}{q16} \fraccdot3+\dfrac{q1}{(16}\cdot4 = 1 - q)^\dfrac{27}{8} .$ Можно сделать схему более экономной, если использовать датчик, равномерно формирующий число из диапазона $[0, 1]$. Образуем по данному набору вероятностей $p_i$ накопленные суммы $s_i$, такие, что $s_0 = \frac0; s_i = s_{i-1}{p} =+ p_i,$ для $i > 0$. Случайный исход будет вырабатываться так: по полученному из датчика случайному числу $\fracgamma$ находится такой индекс $i$, для которого $s_{i-1}{< \gamma \leqslant s_i$. Найденное значение индекса $i$ и определяет исход $A_i$. Индекс $i$ можно определять непосредственно просмотром $s_i$ подряд.  Рассмотрим приведенный выше пример с четырьмя исходам. В данном случае суммы $s_0, \ldots, s_4$ будут принимать значения <tex>0,</tex> <tex>\fracdfrac{3}{416}} = ,</tex> <tex>\fracdfrac{4}{316}. ,</tex>Дисперсия вычисляется аналогично.: <tex dpi = "140">D(X) = \fracdfrac{q12}{p^{2}16} </tex> и <tex>1</tex> соответственно. Значению $\gamma = 0,5$ будет соответствовать $i = 3$, то есть оно будет определять исход события $A_3.$ Таким же образом, $\fracgamma = 0,985$ определяет исход события $A_4.$ Если $k$ велико, можно применять специальные приёмы ускоренного поиска, например, деление множества индексов примерно пополам. ==Общий случай=={4}{9} |class = "wikitable" style="text-align:center;"| рис. <tex>1</tex> || рис. <tex>2</tex> || рис. <tex>3</tex>Обобщим|-|width = "280px"| [[Файл:Sim pic1.JPG|270px]] ||width = "280px"|[[Файл:Sim pic2.JPG‎|270px]] ||width = "280px"|[[Файл:Sim pic3.JPG‎|270px]] |} Допустим у нас есть распределение <tex>p.</tex> Нам нужно получить распределение <tex>q.</tex>:. * Для начала рассмотрим случай, когда все <tex>p_i = \fracdfrac{1}{k},</tex> а в распределениии распределении <tex>q </tex> количество элементарных исходов равно <tex>2</tex> <tex>(</tex>рис. <tex>1).</tex>  Проводим эксперимент, : если попадаем в область пересекающуюся с <tex> q_1 </tex> и <tex> q_2,</tex> то увеличиваем ее и повторяем эксперимент. На рисунке ниже рис. <tex>1</tex> красным обозначенно обозначено распределение <tex> q. </tex> Вероятность того, что на этом шаге эксперимент не закончится {{---}} <tex>\fracdfrac{1}{k}.</tex> Математическое ожидание количества экспериментов {{---}} <tex> \fracdfrac{k}{k-1}, max(\fracdfrac{k}{k-1}) = 2 </tex> <tex>(</tex>при <tex>k = 2) .</tex>[[Файл:Sim pic1.JPG‎|400px]]* Теперь рассмотри рассмотрим случай, когда все элементарные исходы <tex>p_i</tex> по -прежнему равновероятны <tex>(p_i = \fracdfrac{1}{k}),</tex>а количество элементарных исходов распределения <tex>q</tex> равно <tex>n (\sum\limits_{j=1}^{n}q_j = 1)</tex> <tex>(</tex>рис. <tex>2). </tex> Повторим эксперимент <tex> t </tex> раз.  <tex> k^t \ge geqslant 2n, t \ge geqslant \log\limits_{k}2n </tex>  Отрезок разбился на <tex> k^t </tex> отрезков. Стык будет не более, чем в половине отрезков. Математическое ожидание количества экспериментов <tex> \approx 2t </tex>[[Файл:Sim pic2.JPG‎|400px]]*  <tex>p_i, \sum\limits_{i}p_i = 1, </tex> <tex>q_j, \sum\limits_{j}q_j = 1. </tex>  Берем <tex> p_i </tex> , и пусть оно максимальной длины<tex>(</tex>рис. <tex>3). </tex> Проводим <tex> t </tex> экспериментов. <tex>{p_i}^t < \fracdfrac{1}{2n}, </tex> все остальные еще меньше. Суммарная длина отрезков не больше <tex>\fracdfrac{1}{2}.</tex> Нужно <tex> t \ge geqslant \log\limits_{p}\fracdfrac{1}{2n} .</tex> [[Файл:Sim pic3.JPG‎|400px]]Вывод: Таким образом, из любого исходного распределения можно мы можем получить любое нужное нам распределение.

==ЛитератураИсточники информации==*Боровков А.А. Математическая статистика: оценка параметров, проверка гипотез. {{- --}} М., Физматлит, 1984, {{---}} стр. 71.*[http://sheen.me/books/spec/apia.djvu Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн {{-- -}} Алгоритмы. Построение и анализ 1244c{{---}} М. : ООО "И. Д. Вильямс", 2013.{{---}} 1328 с. {{---}} стр. 1254.]*Романовский И. В. {{---}} Элементы теории вероятностей и математической статистики (теория и задачи): учебное пособие. {{---}} Омск, издатель ИП Скорнякова Е.В., 2012. {{---}} 189 с. {{---}} стр. 34.  [[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Теория вероятности ]]