442
правки
Изменения
Нет описания правки
При этом, матрицы <tex>U_{n \times n}</tex> и <tex>V_{m \times m}</tex> являются ортогональными, а матрица <tex>\Sigma_{n \times m} </tex> {{---}} диагональной.
}}
== Свойства ==
* <tex> m \times m </tex>-матрица <tex> V = (u_1, \dots, u_m) </tex> ортогональна, <tex> U^T U = I_m </tex>,столбцы <tex> u_j </tex> — собственные векторы матриц <tex> F^T F </tex>;
* <tex> n \times m </tex>-матрица <tex> \Sigma_{n \times m} </tex> {{---}} диагональная, <tex> \Sigma_{n \times m} = diag(\sqrt{\lambda_1}, \dots, \sqrt{\lambda_n}) </tex>, <tex> \lambda_j \geq 0 </tex> — собственные значения матриц <tex> F^T F </tex> и <tex> F F^T </tex>, <br> <tex> \sqrt{ \lambda_j } </tex> — сингулярные числа матрицы <tex> F </tex>.
Матрицы <tex> U, V </tex> ортогональные, <tex> \Sigma </tex> {{---}} диагональная:
<tex> UU^T = I_n</tex>,<tex>VV^T = I_m</tex>, <tex> \Sigma = diag(\lambda_1,\dots,\lambda_{min(n, m)})</tex>, <tex>\lambda_1 \geq \dots \geq \lambda_{min(n, m)} \geq 0 </tex> .
=== Усеченное разложение ===
Усеченное разложение {{---}} когда из лямбд, остаются только первые <tex> d </tex> чисел, а остальные полагаются равными нулю.
<tex> \lambda_{d+1},\dots,\lambda_{min(n,m)} = 0 </tex>
Значит у матриц <tex> U </tex> и <tex> V </tex> остаются только первые <tex> d </tex> столбцов, а матрица <tex> \Sigma </tex> становится квадратной размером <tex> d \times d </tex>.
<tex> A'_{n \times m} = U'_{n \times d} \times \Sigma'_{d \times d} \times V'^T_{d \times m} </tex>.
Полученная матрица<tex> A'</tex> хорошо приближает исходную матрицу <tex> A</tex>. Более того, является наилучшим низкоранговым приближением с точки зрения средне-квадратичного отклонения.
