Сингулярное разложение

Материал из Викиконспекты
Версия от 18:14, 19 марта 2019; 178.22.89.72 (обсуждение)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Сингулярное разложение — декомпозиция вещественной матрицы с целью ее приведения к каноническому виду.

Свойства[править]

Пусть [math] F [/math][math] l \times n [/math] матрица. Тогда [math] F [/math] можно представить в следующем виде:

[math] F = V D U^T [/math].

Основные свойства сингулярного разложения:

  • [math] l \times n [/math]-матрица [math] V = (v_1, \dots, v_n) [/math] ортогональна, [math] V^T V = I_n [/math],
    столбцы [math] v_j [/math] — собственные векторы матрицы [math] F F^T [/math];
  • [math] n \times n [/math]-матрица [math] U = (u_1, \dots, u_n) [/math] ортогональна, [math] U^T U = I_n [/math],
    столбцы [math] u_j [/math] — собственные векторы матриц [math] F^T F [/math];
  • [math] n \times n [/math]-матрица [math] D [/math] диагональна, [math] D = diag(\sqrt{\lambda_1}, \dots, \sqrt{\lambda_n}) [/math],
    [math] \lambda_j \geq 0 [/math] — собственные значения матриц [math] F^T F [/math] и [math] F F^T [/math],
    [math] \sqrt{ \lambda_j } [/math] — сингулярные числа матрицы [math] F [/math].