Изменения

В '''позиционных системах счисления ''' (англ. ''positional numeral systems'') один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен.

Под позиционной системой счисления обычно понимается ''b''-ричная ичная система счисления, которая определяется [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE целым числом] <tex>b>1</tex>, называемым основанием системы счисления.

: <tex>x = \sum_sum\limits_{k=0}^{n-1} a_k b^k</tex>, где <tex>a_k</tex> — это целые числа, называемые '''цифрами''', удовлетворяющие неравенству <tex>0 \leq leqslant a_k \leq leqslant (b-1)</tex>.

* <tex>1 </tex> — единичная (как позиционная может и не рассматриваться; счёт на пальцах, зарубки, узелки «на память» и др.);* <tex>2 </tex> — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);* <tex>8 </tex> — восьмеричная;* <tex>10 </tex> — десятичная (используется повсеместно);* <tex>12 </tex> — двенадцатеричная (счёт дюжинами);* <tex>16 </tex> — шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике).

: <tex>x = \sum_sum\limits_{k=0}^{n-1} a_{k}b_k</tex>, где на коэффициенты <tex>a_{k}</tex> (называемые как и прежде ''цифрами'') накладываются некоторые ограничения.

В зависимости от вида <tex>b_k</tex> как функции от ''<tex>k'' </tex> смешанные системы счисления могут быть степенными, показательными и т. п. Когда <tex>b_k=b^k</tex> для некоторого <tex>b</tex>, показательная смешанная система счисления совпадает с <tex>b</tex>-ичной системой счисления.

Наиболее известным примером смешанной системы счисления являются представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина ''<tex>d </tex> дней , <tex>h </tex> часов , <tex>m </tex> минут , <tex>s </tex> секунд'' соответствует значению <tex>d\cdot 24\cdot 60\cdot 60 + h\cdot 60\cdot 60 + m\cdot 60 + s \ </tex><tex>\ </tex> секунд.

последовательность Последовательность чисел Фибоначчи <tex>\left\{F_n\right\}</tex> задается линейным рекуррентным соотношением:

: <tex>x = \sum_sum\limits_{k=0}^n f_k F_k</tex>, где <tex>F_k</tex> — числа Фибоначчи, <tex>f_k\in\{0,1\}</tex>, при этом в записи <tex>f_nf_{n-1}\dots ldots f_0</tex> не встречается две единицы подряд.

Таким образом, любое неотрицательное целое число <tex>a = 0,\ 1,\ 2,\dotsldots </tex> можно единственным образом представить через последовательность битов …ε_k…ε₄ε₃ε₂: <tex>a = \sum_k sum\limits_k \varepsilon_k F_k,\ \varepsilon_k = \in\{0,1\}</tex>, причём последовательность {ε_k} содержит лишь конечное число единиц, и не имеет пар соседних единиц: <tex>\forall k \ge geqslant 2: (\varepsilon_k=1) \Rightarrow (\varepsilon_{k+1}=0)</tex>.

Доказательство существования легко провести по индукции. Любое целое число <tex>a \ge geqslant 1</tex> попадёт в промежуток между двумя соседними числами Фибоначчи, то есть для некоторого <tex>n\ge geqslant 2</tex> верно неравенство: <tex>F_n \le leqslant a < F_{n+1}</tex>. Таким образом, <tex>a = F_n + a'</tex>, где <tex>a'=a-F_n\ <\ F_{n-1}</tex>, так что разложение числа <tex>a'</tex> уже не будет содержать слагаемого <tex>F_{n-1}</tex>.