Слово Туэ-Морса — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Определение)
(Свойства и эквивалентные определения)
Строка 21: Строка 21:
 
Как видно из определения, символ на <tex>i</tex>-ой позиции не зависит от номера строки. Так как длина строк возрастает, каждая строка является собственным префиксом следующей, поэтому можно рассматривать получение следующей строки как приписывание к текущей некоторого суффикса.
 
Как видно из определения, символ на <tex>i</tex>-ой позиции не зависит от номера строки. Так как длина строк возрастает, каждая строка является собственным префиксом следующей, поэтому можно рассматривать получение следующей строки как приписывание к текущей некоторого суффикса.
  
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>\varphi(S)</tex> — строка, получающаяся из <tex>S \in \{0, 1\}^*</tex> заменой всех вхождений <tex>a</tex> на <tex>b</tex> и всех вхождений <tex>b</tex> на <tex>a</tex>. Для строк Туэ-Морса верно следующее соотношение: <tex>T_{n + 1} = T_n \varphi(T_n)</tex>
 +
|proof=
 
Заметим, что соответсвующие индексы символов при приписывании суффикса к строке <tex>T_n</tex> получаются добавлением к индексам <tex>i = 0, 1, \dots, 2^n - 1</tex> числа <tex>2^n</tex>. Количество единиц в двоичной записи числа <tex>i + 2^n</tex> ровно на один больше, чем в двоичной записи числа <tex>i</tex>. Поэтому приписываемый суффикс есть ни что иное, как исходная строка с инвертированными символами.
 
Заметим, что соответсвующие индексы символов при приписывании суффикса к строке <tex>T_n</tex> получаются добавлением к индексам <tex>i = 0, 1, \dots, 2^n - 1</tex> числа <tex>2^n</tex>. Количество единиц в двоичной записи числа <tex>i + 2^n</tex> ровно на один больше, чем в двоичной записи числа <tex>i</tex>. Поэтому приписываемый суффикс есть ни что иное, как исходная строка с инвертированными символами.
 +
}}
 +
 +
Данная теорема позволяет определять последовательность строк Туэ-Морса следующим образом: <tex>T_0 = a</tex>, <tex>T_{n + 1} = T_n \varphi(T_n)</tex>.
  
 
Часто рассматривают предельный случай — бесконечную строку Туэ-Морса. Бесконечную строку также можно задать с помощью правил ассоциативного исчисления, клеточного автомата, рекурсивных соотношений и так далее.
 
Часто рассматривают предельный случай — бесконечную строку Туэ-Морса. Бесконечную строку также можно задать с помощью правил ассоциативного исчисления, клеточного автомата, рекурсивных соотношений и так далее.

Версия 09:23, 4 апреля 2012

Определение:
Определим последовательность строк [math]T_n[/math] над двухбуквенным алфавитом [math]\{a, b\}[/math] следующим образом: [math]T_n = t_0 t_1 \dots t_{2^n-1}[/math], где:
  • [math]t_i = a[/math], если двоичная запись числа [math]i[/math] содержит чётное число единиц
  • [math]t_i = b[/math] иначе
Строки этой последовательности называются строками Туэ-Морса.


Примеры

Приведём первые пять строк Туэ-Морса:

  • [math]T_0 = a[/math]
  • [math]T_1 = ab[/math]
  • [math]T_2 = abba[/math]
  • [math]T_3 = abbabaab[/math]
  • [math]T_4 = abbabaabbaababba[/math]

Свойства и эквивалентные определения

Как видно из определения, символ на [math]i[/math]-ой позиции не зависит от номера строки. Так как длина строк возрастает, каждая строка является собственным префиксом следующей, поэтому можно рассматривать получение следующей строки как приписывание к текущей некоторого суффикса.

Теорема:
Пусть [math]\varphi(S)[/math] — строка, получающаяся из [math]S \in \{0, 1\}^*[/math] заменой всех вхождений [math]a[/math] на [math]b[/math] и всех вхождений [math]b[/math] на [math]a[/math]. Для строк Туэ-Морса верно следующее соотношение: [math]T_{n + 1} = T_n \varphi(T_n)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Заметим, что соответсвующие индексы символов при приписывании суффикса к строке [math]T_n[/math] получаются добавлением к индексам [math]i = 0, 1, \dots, 2^n - 1[/math] числа [math]2^n[/math]. Количество единиц в двоичной записи числа [math]i + 2^n[/math] ровно на один больше, чем в двоичной записи числа [math]i[/math]. Поэтому приписываемый суффикс есть ни что иное, как исходная строка с инвертированными символами.
[math]\triangleleft[/math]

Данная теорема позволяет определять последовательность строк Туэ-Морса следующим образом: [math]T_0 = a[/math], [math]T_{n + 1} = T_n \varphi(T_n)[/math].

Часто рассматривают предельный случай — бесконечную строку Туэ-Морса. Бесконечную строку также можно задать с помощью правил ассоциативного исчисления, клеточного автомата, рекурсивных соотношений и так далее.

Ссылки