Изменения

|definition=Морфизмом называется отображение '''Строками Фибоначчи''' (англ. ''Fibostring'') называются строки над алфавитом <tex>h\Sigma = \{x, y\}</tex>, которое каждоый букве полученные последовательным применением морфизма <tex>\lambdah</tex> из алфавита :* <tex>Ah(x) = xy</tex> ставит в соответствие строку * <tex>h(\lambday)= x</tex> из множества к строке <tex>As = y</tex>, т. е. последовательность <tex>f_n(x,y) = h^{+}n(y)</tex>. отображение  }} ==Примеры==Первые несколько строк Фибоначчи:  * <tex>hf_0 = y</tex> также распространяется на любую строку * <tex>f_1 = x</tex> из множества * <tex>f_2 = xy</tex>* <tex>f_3 = xyx</tex>* <tex>f_4 = xyxxy</tex>* <tex>f_5 = xyxxyxyx</tex> ==Рекуррентное соотношение для строк Фибоначчи=={{Лемма|about=1|statement= Строки Фибоначчи удовлетворяют рекуррентному соотношению <tex>A^f_n = f_{n-1}f_{+n-2}, n \geqslant 2</tex>.|proof=Докажем методом математической индукции по <tex>f_n</tex> путем использования следующего тождества. '''База:'''  : При <tex>n = 2</tex> выполняется <tex>f_2=xy=f_1f_0<br/tex>. '''Переход:'''  :Пусть <tex>n > 2</tex> и <tex>f_n = f_{n-1}f_{n-2}</tex>. :<tex>f_{n+1} = h(xf_n) = h(x[f_{n-1])h(x[}f_{n-2])...h(x[n]})</tex>.:Так как отображение <brtex>Для полноты распространим отбражение на множество h</tex>A^{*{---}}линейно (т.е. <tex>h(xy) = h(x)h(y)</tex>), положив, что для любого морфизма то можно продолжить равенство::<tex>f_{n+1} = h(\epsilonf_{n-1})h(f_{n-2}) = \epsilonf_{n}f_{n-1}</tex>.

Любой морфизм <tex>h</tex> Также можно применять к исходной строке <tex>x_0</tex> любое число раззаметить, тем самым генерируя последовательность итераций <tex>h^{*}(x_0)</tex> по следующему правилу: <br><tex>h^{*}(x_0) = \{h^0(x_0), h^1(x_0),...\}</tex>. <br>где <tex>h^0(x_0) = x_0</tex> и для любого целого <tex>k \geq 1 h^k(x_0) = h(h^{k-1}(x_0))</tex>. <br>Например:<br><tex>A = \{a,b\}, h(a) = a, h(b) = ab</tex>. <br><tex>h^*(a) = \{a,a,..что длины строк Фибоначчи совпадают с числами Фибоначчи.\}</tex> <br><tex>h^*(b) = \{b, ab, a^2b,..., a^kb...\}</tex><br>

|definition=Строки Определим '''бесконечную обобщенную строку Фибоначчи - строки, порожденные следующим морфизмом:* <tex>hf_{\infty}(ax,y) = ab</tex> * ''' (англ. ''generalized infinite Fibostring'') как строку, содержащую все строки <tex>hf_n(bx,y) = a, n \geqslant 0</tex>в качестве префиксов.

<tex>f_n=f_{n-1}f_{n-2}=Леммыf_{n-2}f_{n-3}f_{n-2}</tex>. Таким образом, <tex>f_{n-2}</tex> является бордером. Далее, <tex>f_n=f_{n-3}f_{n-3}f_{n-3}f_{n-4}=f_{n-4}f_{n-5}\ldots f_{n-4} </tex>. Получили, что <tex>f_{n-4}</tex> также является бордером. Продолжая выполнять это преобразование, докажем лемму для всех заданных <tex>i</tex>.}}{{ЛеммаУтверждение|about=2|statement= В <tex>f_n(x,y)</tex> не может содержаться подстроки <tex>x^3</tex> или <tex>y^2</tex>.|proof = Докажем для <tex>x^3</tex> методом математической индукции по <tex>f_n</tex>. '''База:''':<tex>f_0=y,f_1=x</tex> не содержат <tex> x^3</tex>'''Переход:''':Пусть <tex>n \exists k geqslant 2</tex>, тогда <tex>f_n = f_{n-1}f_{n-2}</tex>.: \forall Так как <tex>f_{n-1}</tex> и <tex>f_{n-2}</tex> не содержат <tex>x^3</tex>, то такая кратная строка может появиться только на границе строк <tex>f_{n-1}</tex> и <tex>f_{n-2}</tex>.:А <tex>f_{n-2}</tex> равно либо <tex>x</tex>, либо <tex>y</tex>, либо начинается с <tex>xy</tex> (при <tex>n \geq k \Rightarrow F_geqslant 4</tex>).:Таким образом, достаточно доказать, что последние два символа <tex>f_{n-1}</tex> не равны <tex>xx</tex>.:Это выполняется согласно лемме 4, по которой либо <tex>xy</tex>, либо <tex>xyx</tex> является бордером (в зависимости от четности длины строки).}}==Обратный морфизм=={{Определение|definition= '''Обратный морфизм''' <tex>h^{-1}</tex> определяется как отображение:* <tex>h^2 {-1}(xy) = x</tex> ,* <tex>h^{- префикс 1}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} y, \overline{xx}\\ x, \text{otherwise}\\ \end{array}\right. </tex>Здесь <tex>F_\overline{xx}</tex> обозначает, что после этого вхождения <tex>x</tex> в строке опять следует <tex>x</tex>. }}Обратный морфизм позволяет из строки <tex>f_n</tex> получить строку <tex>f_{n+2-1}</tex> .

|proof'''Пример''':: <tex>f_4=xyxxy</tex>. : Будем последовательно применять морфизм:: Префикс <tex>xy</tex> переходит в <tex>x</tex>, центральный <tex>x</tex> переходит в <tex>y</tex>, а суффикс <tex>xy</tex> также переходит в <tex>x</tex>.: Получили <tex>xyx = f_3</tex> F_{n+2} .== Связь с задачей о построении исключений== F_{n+1}F_{n} Утверждение|about= F_{n}F_{n-1}F_{n} 3|statement= F_{Для любого целого <tex>n}F_{n-1}F_{n-1}F_{n-2}\geqslant 7</tex> <tex>f_n</tex>содержит куб некоторой подстроки.|proof = Строка <tex> f_7 = F_{n}F_{n-1}F_{n-2}F_{n-3}F_{n-2} xyxxyxyxxyxxyxyxxyxyx</tex> содержит подстроку <tex>xyxxyxxyx = F_{n}F_{n}F_{n-(xyx)^3}F_{n-2}</tex> Так как мы пользовались формулой и является префиксом <tex>f_n</tex> для <tex>F_{n-1\geqslant 7</tex>.}} = F_{n-2}F_{n-3}Теорема|about=1|statement= Никакая строка <tex>f_n</tex>, то рассуждения верны для не содержит подстроки кратности <tex>n \geq 4</tex>. Следовательно, }}{{Утверждение|about= 4|statement=Бесконечная строка Фибоначчи <tex>k f_{\geq 6infty}</tex> является решением {{Acronym | задачи построения <tex>(2,4)</tex>-исключения| Требуется построить бесконечную строковую последовательность на алфавите размером 2, свободную от кратных подстрок порядка 4, но содержащую кратные подстроки порядков 2 и 3.}}|proof = Это следует из утверждения и теоремы выше.