Слово Фибоначчи — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Fixing bugs in definition. Some irrelevant renaming.)
(Another naming fixup.)
Строка 1: Строка 1:
 
==Определение==
 
==Определение==
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition='''Морфизмом''' называется отображение <tex>h_0 : \Sigma^* \rightarrow \Sigma^*</tex>, которое каждой букве <tex>\lambda</tex> из алфавита <tex>\Sigma</tex> ставит в соответствие строку <tex>h(\lambda)</tex> из множества <tex>\Sigma^{+}</tex>,
+
|definition='''Морфизмом''' называется отображение <tex>h : \Sigma^* \rightarrow \Sigma^*</tex>, которое каждой букве <tex>\lambda</tex> из алфавита <tex>\Sigma</tex> ставит в соответствие строку <tex>h(\lambda)</tex> из множества <tex>\Sigma^{+}</tex>,
а затем данное отображение распространяется на <tex>\Sigma^*</tex> следующим образом:
+
затем данное отображение распространяется на <tex>\Sigma^*</tex> следующим образом:
  
 
<tex>h(s) =  
 
<tex>h(s) =  
 
\left\{ \begin{array}{ll}  
 
\left\{ \begin{array}{ll}  
             h_0(s[1])h_0(s[2])...h_0(s[n]), & s \in \Sigma^+ \\
+
             h(s[1])h(s[2])...h(s[n]), & s \in \Sigma^+ \\
 
             \varepsilon, & s \in \Sigma^0 \\
 
             \varepsilon, & s \in \Sigma^0 \\
 
         \end{array}
 
         \end{array}
Строка 30: Строка 30:
 
* <tex>h(a) = ab</tex>  
 
* <tex>h(a) = ab</tex>  
 
* <tex>h(b) = a</tex>
 
* <tex>h(b) = a</tex>
к строке <tex>x_0 = b</tex>, т.е. <tex>h^*(b)</tex>.
+
к строке <tex>s = b</tex>, т.е. <tex>h^*(b)</tex>.
  
 
}}
 
}}
Строка 51: Строка 51:
 
'''База:''' При <tex>n = 2</tex> равенство очевидно.
 
'''База:''' При <tex>n = 2</tex> равенство очевидно.
  
'''Переход:''' Пусть <tex>n > 2</tex> и <tex>f_n = f_{n-1}f_{n-2}</tex>. <tex>f_{n+1} = h(f_n) = h(f_{n-1}f_{n-2})</tex>. Т.к. h {{---}} линейна (т.е. <tex>h(xy) = h(x)h(y)</tex>), то можно продолжить равенство:
+
'''Переход:''' Пусть <tex>n > 2</tex> и <tex>f_n = f_{n-1}f_{n-2}</tex>. <tex>f_{n+1} = h(f_n) = h(f_{n-1}f_{n-2})</tex>. Так как отображение h {{---}} линейно (т.е. <tex>h(xy) = h(x)h(y)</tex>), то можно продолжить равенство:
 
<tex>f_{n+1} = h(f_{n-1})h(f_{n-2}) = f_{n}f_{n-1}</tex>.
 
<tex>f_{n+1} = h(f_{n-1})h(f_{n-2}) = f_{n}f_{n-1}</tex>.
 
}}
 
}}

Версия 22:43, 1 июня 2012

Определение

Определение:
Морфизмом называется отображение [math]h : \Sigma^* \rightarrow \Sigma^*[/math], которое каждой букве [math]\lambda[/math] из алфавита [math]\Sigma[/math] ставит в соответствие строку [math]h(\lambda)[/math] из множества [math]\Sigma^{+}[/math],

затем данное отображение распространяется на [math]\Sigma^*[/math] следующим образом:

[math]h(s) = \left\{ \begin{array}{ll} h(s[1])h(s[2])...h(s[n]), & s \in \Sigma^+ \\ \varepsilon, & s \in \Sigma^0 \\ \end{array} \right. [/math]


Любой морфизм [math]h[/math] можно применять к исходной строке [math]s[/math] любое число раз, тем самым генерируя последовательность итераций [math]h^{*}(s)[/math] по следующему правилу:

    [math]h^{*}(s) = \{h^0(s), h^1(s),...\}[/math].

где [math]h^0(s) = s[/math] и для любого целого [math]k \geq 1 :[/math] [math] h^k(s) = h(h^{k-1}(s))[/math].

Например:

  • [math]\Sigma = \{a,b\}, h(a) = a, h(b) = ab[/math].
  • [math]h^*(a) = \{a,a,...\}[/math]
  • [math]h^*(b) = \{b, ab, a^2b,..., a^kb...\}[/math]


Определение:
Строками Фибоначчи являются строки над алфавитом [math]\Sigma = \{a, b\}[/math], полученные последовательным применением морфизма [math]h[/math]:
  • [math]h(a) = ab[/math]
  • [math]h(b) = a[/math]
к строке [math]s = b[/math], т.е. [math]h^*(b)[/math].


Первые несколько строк Фибоначчи:

  • [math]f_0 = b[/math]
  • [math]f_1 = a[/math]
  • [math]f_2 = ab[/math]
  • [math]f_3 = aba[/math]
  • [math]f_4 = abaab[/math]
  • [math]f_5 = abaababa[/math]

Лемма

Лемма:
Строки Фибоначчи удовлетворяют рекуррентному соотношению [math]f_n = f_{n-1}f_{n-2}, n \geq 2[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство нетрудно получить методом математической индукции.

База: При [math]n = 2[/math] равенство очевидно.

Переход: Пусть [math]n \gt 2[/math] и [math]f_n = f_{n-1}f_{n-2}[/math]. [math]f_{n+1} = h(f_n) = h(f_{n-1}f_{n-2})[/math]. Так как отображение h — линейно (т.е. [math]h(xy) = h(x)h(y)[/math]), то можно продолжить равенство:

[math]f_{n+1} = h(f_{n-1})h(f_{n-2}) = f_{n}f_{n-1}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Также нетрудно заметить, что длины строк Фибоначчи совпадают с числами Фибоначчи.

См. также

Слово Туэ-Морса

Источники

  • Билл Смит. Методы и алгоритмы вычислений на строках. Пер. с англ. — М.:ООО"И.Д.Вильямс", 2006. — 496 с.: ил. — Парал. тит. англ. ISBN 5-8459-1081-1 (рус.)