79
правок
Изменения
м
Нет описания правки
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> G = (V, E) - </tex> - [[Определение_сети,_потока#flow_network|транспортная сеть]] с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, а <tex>f- </tex> - [[Определение_сети,_потока#flow|поток]] в <tex>G</tex>. Пусть <tex>G_f- </tex> - [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь#residual_network|остаточная сеть]] в <tex>G</tex>, порожденная потоком <tex>f</tex>, а <tex>f'- </tex> - поток в <tex>G_f</tex>. Тогда сумма потоков <tex>f + f'</tex>, определяемая уравнением <tex>(f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v)</tex>, является потоком в <tex>G</tex>, и [[Определение_сети,_потока#flow|величина]] этого потока равна <tex>|f + f'| = |f| + |f'|</tex>.
|proof=
Необходимо проверить, выполняются ли ограничения антисимметричности, пропускной способности и сохранения [[Определение_сети,_потока#flow|потока]].
2) Покажем соблюдение ограничений пропускной способности. Заметим, что <tex>f'(u,v) \le leqslant c_f(u,v)</tex> для всех <tex>u,v \in V </tex> и <tex> c_f(u, v) = c(u, v) - f(u, v) </tex>. Тогда <br><tex>(f + f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) \le leqslant f(u,v) + (c(u,v) - f(u,v)) = c(u,v) </tex>.
}}
==Аналогичная лемма Лемма о разности потоков==
{{Лемма
|statement=
Также есть аналогичная лемма о разности потоков. Пусть <tex> G = (V, E) - </tex> - транспортная сеть с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, а <tex>h</tex> и <tex>f- </tex> - [[Определение_сети,_потока#flow|потоки]] в <tex>G</tex>. Пусть <tex>G_f- </tex> - [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь#residual_network|остаточная сеть]] в <tex>G</tex>, порожденная потоком <tex>f</tex>. Тогда разность потоков <tex>h - f</tex>, определяемая уравнением <tex>(h - f)(u, v) = h(u,v) - f(u,v)</tex>, является потоком в <tex>G_f</tex>, и величина этого потока равна <tex>|h - f| = |h| - |f|</tex>.
|proof=
Антисимметричность и правило сохранения потока для <tex>h - f</tex> проверяются аналогично лемме о сложении потоков.
Покажем соблюдение ограничений пропускной способности.
<tex>(h - f)(u,v) = h(u,v) - f(u,v) \le leqslant c(u,v) - f(u,v) = c_f(u,v) </tex>.
Теперь покажем, что [[Определение_сети,_потока#flow|величина]] потока <tex>h - f</tex> равна разности величин потоков <tex>h</tex> и <tex>f</tex>.
}}
== Литература Источники информации ==
* ''Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р.'' Алгоритмы: построение и анализ.[http://wmate.ru/ebooks/?dl=380&mirror=1] — 2-е изд. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. — С. 1296.
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Задача о максимальном потоке]]
