Изменения

Пусть существуют такие множества <tex>B, C \in I: B \subset A, C \subset \langle A \rangle, |B| = r(A) < r(\langle A \rangle) = |C|.</tex> Тогда по аксиоме замен <tex>\exists p \in C \setminus B : B \cup p \in I.</tex> Так как <tex>B</tex> - максимально, то <tex>p \in \langle A \rangle \setminus A.</tex> По определению замыкания существует такое множество <tex>D \subset A: D \in I, D\cup p \notin I.</tex> В силу аксиомы наследования можно считать, что <tex>|D| = |B|.</tex> Тогда <tex>r(A) = |D| < |B \cup p|.</tex> По аксиоме замены существует <tex>q \in (A B \cup p)\setminus D : D \cup q \notin I.</tex>

Если <tex>q \in B,</tex> то <tex>(D \cup q) \subset A</tex>(противоречит максимальности множества <tex>D</tex>). Если <tex>q = p,</tex> то <tex>(D \cup p) \in I</tex>(противоречит выбору множества <tex>D</tex>).