143
правки
Изменения
м
третей->третьей
Очевидно, что если <tex>\mathbb A \in \mathfrak I</tex> и <tex>\mathbb B \subset \mathbb A</tex> то <tex>\mathbb B \in \mathfrak I</tex>, вторая аксиома выполнена.
Проверим справедливость третей третьей аксиомы для семейства <tex>\mathfrak I</tex>. Предположим, что существуют множества <tex>\mathbb I, \mathbb J \in \mathfrak I</tex> такие, что <tex>|\mathbb I|<|\mathbb J|</tex>, для которых третья аксиома не выполнена. Среди всех таких пар <tex>\mathbb I, \mathbb J</tex> выберем ту, у которой мощность <tex>|\mathbb I \cup \mathbb J|</tex> минимальна. Положим <tex>\mathbb J \setminus \mathbb I = \{p_1,...,p_t\}</tex>. Если <tex>t = 1</tex>, то, очевидно, <tex>\mathbb I \subset \mathbb J</tex> и аксиома выполняется. Поэтому имеем <tex>t \ge 2</tex>.
В силу нашего предположения <tex>\mathbb I \cup p_i \notin \mathfrak I</tex> для любого <tex>i=1,...,t</tex>. Следовательно, существует <tex>\mathbb C_i \in \mathfrak C</tex> такое, что <tex>\mathbb C_i \subseteq \mathbb I \cup p_i</tex> и в силу <tex>\mathfrak C</tex>-независимости множества <tex>\mathbb I</tex> имеем <tex>p_i \in C_i</tex> для любого <tex>i=1,...,t</tex>. Ясно, что множества <tex>C_1,...,C_t</tex> попарно различны.
