Изменения
Нет описания правки
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть нет пути из <tex>F </tex> в <tex>s </tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s </tex> : <tex>T = \{x, <tex>\exists x \leadsto s\}</tex>} по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> - максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>). Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) <= r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> по предположению вначале доказательства, значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> - ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T \cap S_i)</tex>.У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex>. Из определния функции ранга объединения матроидов имеем : <tex>r_M(I + s) <= (|(I + s)\setminus T| + \sum _{k=1}^{n}r_i(T))</tex><tex>r_M(I + s) <= |(I + s)\setminus T| + \sum _{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum _{k=1}^{n} |I_i \cap T | = |I| < |I + s|</tex> и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> - противоречие.
}}
