271
правка
Изменения
Нет описания правки
Рассмотрим [[Гамильтоновы графы|гамильтонов цикл]] графа <tex> G + e</tex> : в нём обязательно присутствует ребро <tex> e </tex>. <br>
Отбрасывая ребро <tex> e </tex>, получим гамильтонову (<tex>u</tex>, <tex>v</tex>)-цепь в графе <tex> G </tex> : <tex> u = u_1 - u_2 - ... - u_n = v </tex>. <br>
Пусть <tex>\ S = \{i|e_i = u_1 u_{i+1} \in E(G)\} </tex> . <br>Пусть <tex>\ T = \{i|f_i = u_i u_n \in E(G)\} </tex> . <br>
<tex>\ S \cap T = \varnothing </tex>, иначе в графе <tex> G </tex> есть гамильтонов цикл. Пусть j <tex> \in S \cap T </tex>. Тогда получим гамильтонов цикл графа <tex> G </tex> : <tex>\ u_1 - u_{j+1} - u_{j+2} - ... - u_n - u_j - u_{j-1} - ... - u_1 </tex>.
Из определений <tex>\ S </tex> и <tex>\ T </tex> следует, что <tex>\ S \cup T \subseteq \{1, 2, ..., n - 1 \} </tex> , поэтому <tex> 2\deg u \le \deg u + \deg v = |S| + |T| = |S \cup T| < n </tex>, то есть <tex>\deg u < n/2 </tex>. <br>
