271
правка
Изменения
Нет описания правки
|proof=
Приведем доказательство от противного.
Пусть теорема Хватала не верна, то есть существует граф с числом вершин <tex>\ n \ge 3 </tex>, удовлетворяющий <tex>\ (*) </tex>, но не гамильтоновнегамильтонов.
Будем добавлять в него [[Основные определения теории графов|рёбра]] до тех пор, пока не получим максимально возможный негамильтонов граф <tex> G </tex> (то есть добавление еще одного ребра сделает граф <tex> G </tex> гамильтоновым).
Важно то, что добавление рёбер не нарушает условие <tex>\ (*) </tex>.
Пусть <tex>\ T = \{i|f_i = u_i u_n \in E(G)\} </tex>. <br>
<tex>\ S \cap T = \varnothing </tex>, иначе в графе <tex> G </tex> есть гамильтонов цикл: пусть z <tex> \in S \cap T </tex>. Тогда получим гамильтонов цикл графа <tex> G </tex>: <tex>\ u_1 - u_{z+1} - u_{z+2} - ... - u_n - u_z - u_{z-1} - ... - u_1 </tex>.
Из определений <tex>\ S </tex> и <tex>\ T </tex> следует, что <tex>\ S \cup T \subseteq \{1, 2, ..., n - 1 \} </tex> , поэтому <tex> 2\deg u \le \deg u + \deg v = |S| + |T| = |S \cup T| < n </tex>, то есть <tex>\deg u < n/2 </tex>. <br>
Так как <tex>\ S \cap T = \varnothing </tex>, ни одна вершина <tex>\ u_j </tex> не смежна с <tex>\ v = u_n </tex> (для <tex>\ j \in S </tex>). В силу выбора <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, получим, что <tex>\deg u_j \le \deg u </tex>. Положим, что <tex>\ k = \deg u </tex>.
Тогда имеется по крайней мере <tex>\ |S| = \deg u = k </tex> вершин, степень которых не превосходит k. <br>
