Изменения

Антисимметрия {{- --}} одно из важнейших свойств бинарных отношений на множестве.

[[Бинарное отношение]] <texdpi=180>R</tex> на множестве <texdpi=180>X</tex> называется '''антисимметричным''', если для любых элементов <texdpi=180 dpi=180>a</tex> и <texdpi=180>b</tex> множества <texdpi=180>X</tex> из выполнения отношений <texdpi=180>(aRb)</tex> и <texdpi=180>(bRa)</tex> следует равенство <texdpi=180>a</tex> и <texdpi=180>b</tex>.

:<texdpi=180>\forall a, b \in X,\ R(a,b) \wedge R(b,a) \; \Rightarrow \; a = b</tex>

Бинарное отношение <texdpi=180>R</tex> на множестве <texdpi=180>X</tex> называется '''антисимметричным''', если для любых неравных элементов <texdpi=180>a</tex> и <texdpi=180>b</tex> множества <texdpi=180>X</tex> из выполнения отношения <texdpi=180>(aRb)</tex> следует невыполнение отношения <texdpi=180>(bRa)</tex>.

:<texdpi=180>\forall a, b \in X,\ R(a,b) \wedge a \ne b \Rightarrow \lnot R(b,a)</tex>

Определение антисимметричного отношения как <texdpi=180> (aRb) \Rightarrow \neg(bRa) </tex> является избыточным (и потому неверным), поскольку из такого определения также следует [[Рефлексивное_отношение| антирефлексивность]] R.

[[Бинарное отношение]] <texdpi=180>R</tex> на множестве <texdpi=180>X</tex> называется '''асимметричным''', если для каждой пары любых элементов множества <texdpi=180 dpi=180>a, </tex> и <tex dpi=180>b</tex> множества <tex dpi=180>X</tex> одновременное выполнение отношений <texdpi=180>a R b</tex> и <texdpi=180>b R a</tex> невозможно.

Заметим, что антисимметричное отношение {{---}} частный случай асимметричного.

Если <texdpi=180>a</tex> и <texdpi=180>b</tex> - некоторые антисимметричные отношения, то антисимметричными также являются отношения:#<texdpi=180>a\cap b</tex>#<texdpi=180>a^{-1}</tex>#<texdpi=180>b^{-1}</tex>