101
правка
Изменения
Внес косметические улучшения, сделал несколько перекрестных ссылок
Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. Числа с плавающей запятой — один из возможных способов предсталения действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений, его можно считать аналогом экспоненциальной записи чисел, но только в памяти компьютера.
Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на так называемые '''знак''', '''порядок ''' и '''мантиссу'''. В наиболее распространённом формате (стандарт IEEE 754) число с плавающей запятой представляется в виде набора битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа, (0 - если число положительное, 1 - если число отрицательное). При этом порядок записывается как целое число в [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код|коде со сдвигом]], а мантисса - в [[#Нормальная и нормализованная форма|нормализованном виде]], своей дробной частью в двоичной системе счисления. Вот пример такого числа из 16 двоичных разрядов:
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
|-
<tex>(-1)^s \times M \times B^E</tex>, где s — знак, B-основание, E — порядок, а M — мантисса.
Порядок также иногда называют '''экспонентой ''' или просто '''показателем степени'''.
При этом лишь некоторые из вещественных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями. Попробуйте, скажем, перевести число <tex>0.2</tex> в двоичную систему счисления - получится бесконечная запись <tex>0,(0011)</tex>
== Нормальная и ''нормализованная'' форма ==
'''Нормальной формой''' числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) в десятичной системе находится на полуинтервале [0; 1). Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах — 0,0001×10<sup>0</sup>, 0,001×10<sup>−1</sup>, 0,01×10<sup>−2</sup>, 0,1×10<sup>−3</sup>), поэтому распространена также другая форма записи — '''нормализованная''', в которой мантисса десятичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 2 (не включительно). То есть в мантиссе слева от запятой до применения порядка находится ровно один знак. В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Ноль же представить таким образом невозможно, поэтому стандарт предусматривает специальную последовательность битов для задания числа 0 (а заодно и некоторых других [[#Особые значения чисел с плавающей точкой|полезных чисел]], таких как <tex>-\infty</tex> и <tex>+\infty</tex>).Так как старший двоичный разряд (целая часть) мантиссы двоичного вещественного числа в нормализованном виде всегда равен «1», то его можно не записывать, сэкономив таким образом один бит, что и используется в стандарте IEEE 754. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем 2 (в троичной, четверичной и др.), этого замечательного свойства нет (ведь целая часть там может быть не только единицей).
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
|-
== Типы чисел с плавающей точкой (по IEEE 754) ==
=== Число половинной точности (''Binary16'', ''Half precision'') ===
'''Число́ полови́нной то́чности''' — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти половину машинного слова (в случае 32-битного компьютера — 16 бит или 2 байта). В силу невысокой точности этот формат представления чисел с плавающей запятой обычно используется в видеокартах, где небольшой размер и высокая скорость работы важнее точности вычислений.
=== Число одинарной точности (''Binary32'', ''Single precision'', ''float'') ===
'''Число́ одина́рной то́чности''' — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти одно машинное слово (в случае 32-битного компьютера — 32 бита или 4 байта). Используется для работы с вещественными числами везде, где не нужна очень высокая точность.
=== Число двойной точности (''Binary64'', ''Double precision'', ''double'') ===
'''Число́ двойно́й то́чности''' —
=== Число четверной точности (''Binary128'', ''Quadruple precision'') ===
'''Число́ четверно́й то́чности''' —
=== Неопределенность (''NaN'') ==='''NaN ''' - это аббревиатура от фразы "''not a number''". Специальное представление, этакое псевдочисло, придуманное для того, чтобы арифметическая операция могла всегда вернуть какое-то не бессмысленное значение. В IEEE 754 NaN представлен как число, в котором все двоичные разряды порядка - единицы, а мантисса не нулевая.
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
* <tex>\sqrt{x} = NaN</tex>, где <tex>x<0</tex>
Есть и другие способы получить получения NaN, подробности можно найти по ссылкам в [[#Ссылки|соответствующем разделе]].
По определению NaN ≠ NaN, поэтому, для проверки значения переменной нужно просто сравнить ее с собой.
== Денормализованные числа ==
'''Денормализованные числа ''' (''denormalized\subnormal numbers'') - это способ увеличить количество представимых числом с плавающей запятой значений около нуля, дабы повысить точность вычислений. Каждое значение денормализованного числа меньше самого маленького '''нормализованного ''' ("обычного") значения числа с плавающей запятой.
Согласно стандарту, если порядок равен своему минимальному значению (все его биты - нули, а порядок формально равен своему сдвигу) и все биты мантиссы равны нулю, то это <tex>\pm0</tex>. Если же мантисса не равна нулю, то это число с порядком, на единицу большим минимального (все биты порядка, кроме младшего - нули) и данной мантиссой, целая часть которой считается равной нулю, а не единице.
<!-- Есть непроверенная информация, что денормализованные числа исключают ситуацию, при которой a+b=a, когда a и b - конечные числа отличные от нуля. Было бы неплохо сюда её добавить -->
Хоть денормализованные числа и позволяют бороться с погрешностями и обрабатывать очень маленькие значения, за эти возможности приходится дорого платить. Ввиду сложности денормализованные числа крайне редко реализуют на аппаратном уровне - вместо этого используются программные реализации, работающие значительно медленнее. <br/>
Поскольку в стандартных форматах (одинарной и двойной точности) денормализованные числа получаются действительно ''очень'' маленькими и практически никак не влияют на результат некоторых вычислений (при этом заметно замедляя их скорость), то иногда они просто игнорируются. При этом используются два простых механизма, получивших называние ''Flush-to-zero '' (''FTZ'') и ''Denormals-are-zero '' (''DAZ''). Первый механизм заставляет операции возвращать ноль, как только становится ясно, что результат будет денормализованным. Второй механизм заставляет операции рассматривать поступающие на вход денормализованные числа как нули. <br/>
Ярким примером подобного "отсечения" денормализованных чисел могут послужить видеокарты, в которых резкое падение скорости вычислений в сотню раз недопустимо. Так же, например, в областях, связанных с обработкой звука, нет нужды в очень маленьких числах, поскольку они представляют столь тихий звук, что его не способно воспринять человеческое ухо.
В версии стандарта IEEE 754-2008 денормализованные числа (''denormal '' или ''denormalized numbers'') были переименованы в ''subnormal numbernumbers'', то есть в числа, меньшие "нормальных". Поэтому их иногда еще называют "'''субнормальными'''".
== Ссылки ==
=== Использованные материалы ===
'''На русском'''* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C http://ru.wikipedia.org/wiki/Экспоненциальная_записьВикипедия - Экспоненциальная запись]* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D1%81_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%8F%D1%82%D0%BE%D0%B9 http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_с_плавающей_запятойВикипедия - Число с плавающей запятой]* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BD%D0%BE%D0%BB%D1%8C http://ru.wikipedia.org/wiki/Википедия - Отрицательный и положительный ноль]*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_половинной_точности]*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_одинарной_точности]*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_двойной_точности]*[http://habrahabr.ru/blogs/cpp/112953/ http://habrahabr.ru/blogs/cpp/112953/]*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_четверной_точности]*[http://compХабрахабр -science.narod.ru/Cod/cod.html http://comp-science.narod.ru/Cod/cod.htmlстатья пользователя Yruslan "Что нужно знать про арифметику с плавающей запятой"]
'''На английском'''*[http://en.wikipedia.org/wiki/NaN http://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia - NaN ''(англ.)'']*[http://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point Wikipedia - Floating point]*[http://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point ''(англ.)''IEEE_754-2008 Wikipedia - IEEE 754-2008]
=== Что стоит прочесть ===
