Изменения

Пусть <tex> A </tex> {{---}} пересечение <tex>~n</tex> множеств. Тогда очевидно, что <tex> A = \bigcup \limits_{i=1}^{n}A_i = \left( {\bigcup \limits_{i=1}^{n-1}A_i} \right) \cup A_n </tex>. Пусть <tex> B = \bigcup \limits_{i=1}^{n-1}A_i </tex>; <tex>N_{-1} N' = \{ 1,2, \ldots ,n-1 \} </tex>.

<tex> | B | = \sum \limits_{I \in 2^{N_{-1}N'}} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I} A_j \right| </tex>

Тогда из предположения индукции имеем, что <tex> (2) = </tex> <tex> \sum \limits_{I \in 2^{N_{-1}N'}} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I} \left( A_j \cap A_n \right) \right| = \sum \limits_{I \in 2^{N_{-1}N'}} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j\in I \cup \{ n \} } A_j \right| </tex>

<tex> | A |\!\! = | A_n |+\left( \sum \limits_{I \in 2^{N_{-1}N'}} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I} A_j \right| \right) - \left( \sum \limits_{I \in 2^{N_{-1}N'}} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j\in I \cup \{ n \} } A_j \right| \right)</tex>

В силу того, что <tex> - \sum \limits_{I \in 2^{N_{-1}N'}} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j\in I \cup \{ n \} } A_j \right| = \ \sum \limits_{I \in 2^{N_{-1}N'}} (-1)^{|I|+2} \left| \bigcap \limits_{ j\in I \cup \{ n \} } A_j \right| \</tex>

<tex> | A |\!\!=| A_n |+\left( \sum \limits_{I \in 2^{N_{-1}N'}} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I } A_j \right| \right) + \left( \sum \limits_{I \in 2^{N_{-1}N'}} (-1)^{|I|+2} \left| \bigcap \limits_{ j\in I \cup \{ n \} } A_j \right| \right)

# <tex> I \in 2^{N\setminus \{n\}'} </tex> Это означает, что в наборе точно '''не''' будет присутствовать индекс <tex> n </tex>, а будут все различные варианты индексов остальных множеств, т.е. <tex> I \in 2^{N\setminus \{n\}'}</tex># <tex> \{ n \} \cup I \in 2^{N\setminus \{n\}'} </tex> Аналогично предыдущему, только в наборе будет индекс <tex> n </tex>