94
правки
Изменения
Нет описания правки
==Унитарное преобразование==
Преобразование нормированного пространства, сохраняющее норму вектора, называется унитарным.
Простейшие свойства унитарного преобразования:
*унитарный оператор всегда обратим
*если оператор <tex>\hat{H}</tex> -- эрмитов, то оператор <tex>\hat{U} = exp(i\hat{H})</tex> -- унитарный
==Применение в квантовой информатике==
Унитарные операторы играют огромную роль в квантовой информатике.
===Воздействие на кубит===
Покажем, что любое физическое воздействие на [[Кубит|кубит]] в квантовой механике описывается линейным унитарным оператором <tex>\hat{U}</tex> как <tex>|\tilde{\psi}\rangle = \hat{U}|\psi\rangle</tex>.
Линейность <tex>\hat{U}</tex> вытекает из линейности уравнения Шредингера.
Пусть <tex>|\Psi\rangle = \alpha_0^2|0\rangle + \alpha_1^2|1\rangle</tex> - вектор, описывающий состояние системы. Тогда уравнение Шредингера записывается как <tex>ih\frac{\partial |\Psi\rangle}{\partial t} = \hat{H}|\Psi\rangle</tex>, где оператор <tex>\hat{H}</tex> -- оператор Гамильтона. Решение этого уравнения с начальным условием <tex>|\Psi\rangle|_{t=0} = |\psi\rangle</tex> может быть записано в виде <tex>|\tilde{\psi}\rangle = \exp\left(\frac{-i\hat{H}t}{h}\right)|\psi\rangle</tex>. Оператор Гамильтона должен быть эрмитовым, чтобы допустимые значения энергии системы были вещественными. Отсюда вытекает, что оператор <tex>\hat{U}</tex> -- унитарный, что и требовалось показать.
Унитарность оператора <tex>\hat{U}</tex> означает, что если исходное состояние квантовой системы нормировано, то и состояние, в которое система перейдет после совершения воздействия также будет нормированным.
===Квантовые вычисления===
В дальнейшем будем рассматривать воздействие на кубит (или на систему кубитов) как процесс вычисления. При этом вектор <tex>|\psi\rangle</tex> играет роль входных данных, оператор <tex>\hat{U}</tex> -- вычислительного процесса, а вектор <tex>|\tilde{\psi}\rangle</tex> -- результата вычислений.
Так как воздействие представимо унитарным оператором, то любой вычислительный процесс обратим.
===Матричная запись вычислений===
Будем использовать матричное представление операторов <tex>\hat{U}</tex>.
Рассмотрим действие оператора на кубит. В силу линейности оператора
<tex>\hat{U}|\psi\rangle = \tilde{\alpha}|0\rangle + \tilde{\beta}|1\rangle = \hat{U}(\tilde{\alpha}|0\rangle + \tilde{\beta}|1\rangle) = \tilde{\alpha}\hat{U}|0\rangle + \tilde{\beta}\hat{U}|1\rangle</tex>, то есть действие оператора на кубит предствляется действием на базисные вектора <tex>|0\rangle</tex> и <tex>|1\rangle</tex>, которые представляют собой ортонормированный базис в двумерном гильбертовом пространстве. Тогда получим:
<tex>\hat{U}|0\rangle = \hat{U}_{00}|0\rangle + \hat{U}_{10}|1></tex>
<tex>\hat{U}|1\rangle = \hat{U}_{01}|0\rangle + \hat{U}_{11}|1></tex>
Тогда вычисление можно записать в виде
<tex>\begin{pmatrix}
\tilde{\alpha}\\
\tilde{\beta}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
U_{00} & U_{01}\\
U_{10} & U_{11}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha\\
\beta
\end{pmatrix}
</tex>
или просто <tex>\tilde{\psi} = U\psi</tex>. Матрица <tex>U</tex> называется матричным представлением оператора <tex>\hat{U}</tex>. Свойство унитарности оператора налагает требование унитарности на его матрицу.
Преобразование нормированного пространства, сохраняющее норму вектора, называется унитарным.
Простейшие свойства унитарного преобразования:
*унитарный оператор всегда обратим
*если оператор <tex>\hat{H}</tex> -- эрмитов, то оператор <tex>\hat{U} = exp(i\hat{H})</tex> -- унитарный
==Применение в квантовой информатике==
Унитарные операторы играют огромную роль в квантовой информатике.
===Воздействие на кубит===
Покажем, что любое физическое воздействие на [[Кубит|кубит]] в квантовой механике описывается линейным унитарным оператором <tex>\hat{U}</tex> как <tex>|\tilde{\psi}\rangle = \hat{U}|\psi\rangle</tex>.
Линейность <tex>\hat{U}</tex> вытекает из линейности уравнения Шредингера.
Пусть <tex>|\Psi\rangle = \alpha_0^2|0\rangle + \alpha_1^2|1\rangle</tex> - вектор, описывающий состояние системы. Тогда уравнение Шредингера записывается как <tex>ih\frac{\partial |\Psi\rangle}{\partial t} = \hat{H}|\Psi\rangle</tex>, где оператор <tex>\hat{H}</tex> -- оператор Гамильтона. Решение этого уравнения с начальным условием <tex>|\Psi\rangle|_{t=0} = |\psi\rangle</tex> может быть записано в виде <tex>|\tilde{\psi}\rangle = \exp\left(\frac{-i\hat{H}t}{h}\right)|\psi\rangle</tex>. Оператор Гамильтона должен быть эрмитовым, чтобы допустимые значения энергии системы были вещественными. Отсюда вытекает, что оператор <tex>\hat{U}</tex> -- унитарный, что и требовалось показать.
Унитарность оператора <tex>\hat{U}</tex> означает, что если исходное состояние квантовой системы нормировано, то и состояние, в которое система перейдет после совершения воздействия также будет нормированным.
===Квантовые вычисления===
В дальнейшем будем рассматривать воздействие на кубит (или на систему кубитов) как процесс вычисления. При этом вектор <tex>|\psi\rangle</tex> играет роль входных данных, оператор <tex>\hat{U}</tex> -- вычислительного процесса, а вектор <tex>|\tilde{\psi}\rangle</tex> -- результата вычислений.
Так как воздействие представимо унитарным оператором, то любой вычислительный процесс обратим.
===Матричная запись вычислений===
Будем использовать матричное представление операторов <tex>\hat{U}</tex>.
Рассмотрим действие оператора на кубит. В силу линейности оператора
<tex>\hat{U}|\psi\rangle = \tilde{\alpha}|0\rangle + \tilde{\beta}|1\rangle = \hat{U}(\tilde{\alpha}|0\rangle + \tilde{\beta}|1\rangle) = \tilde{\alpha}\hat{U}|0\rangle + \tilde{\beta}\hat{U}|1\rangle</tex>, то есть действие оператора на кубит предствляется действием на базисные вектора <tex>|0\rangle</tex> и <tex>|1\rangle</tex>, которые представляют собой ортонормированный базис в двумерном гильбертовом пространстве. Тогда получим:
<tex>\hat{U}|0\rangle = \hat{U}_{00}|0\rangle + \hat{U}_{10}|1></tex>
<tex>\hat{U}|1\rangle = \hat{U}_{01}|0\rangle + \hat{U}_{11}|1></tex>
Тогда вычисление можно записать в виде
<tex>\begin{pmatrix}
\tilde{\alpha}\\
\tilde{\beta}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
U_{00} & U_{01}\\
U_{10} & U_{11}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha\\
\beta
\end{pmatrix}
</tex>
или просто <tex>\tilde{\psi} = U\psi</tex>. Матрица <tex>U</tex> называется матричным представлением оператора <tex>\hat{U}</tex>. Свойство унитарности оператора налагает требование унитарности на его матрицу.
