Изменения

Правило <tex>A \rightarrow \beta </tex> называется '''длинным''' (англ. ''long rule''), если <tex>|\beta| > 2</tex>.

{{Задача|definition=Пусть <tex>\Gamma</tex> {{---}} [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]], содержащая длинные правила. Требуется построить эквивалентную грамматику <tex>\Gamma'''Постановка задачи</tex>, не содержащую длинных правил. <br>Задача удаления длинных правил из грамматики возникает при попытке её приведения к [[нормальная форма Хомского|нормальной форме Хомского]].}}  == Алгоритм ==С каждым длинным правилом <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>, <tex>k > 2</tex>, <tex>a_i \in \Sigma \cup N</tex> проделаем следующее: * Добавим в грамматику <tex>k-2</tex> новых нетерминала <tex>B_1, B_2, \ldots B_{k-2}</tex>. * Добавим в грамматику <tex>k-1</tex> новое правило: *;<tex>A \rightarrow a_1B_1</tex>*;<tex>B_1 \rightarrow a_2B_2</tex> *;<tex>B_2 \rightarrow a_3B_3</tex>*;<tex>\ldots </tex>*;<tex>B_{k-2} \rightarrow a_{k-1}a_{k}</tex>* Удалим из грамматики правило <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>.'''=== Корректность алгоритма ==={{Теорема|statement=Пусть задана <tex>\Gamma</tex> {{---}} [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]] . <tex>\Gamma'</tex> {{---}} грамматика, полученная в результате применения алгоритма к <tex>\Gamma</tex>. Тогда <tex>L(\Gamma) = L(\Gamma').</tex>|proof=<tex>\Rightarrow </tex> <br>Покажем, что <tex>L(\Gamma) \subseteq L(\Gamma')</tex>. И пусть существует <br>Пусть <tex>w \in L(\Gamma)</tex>. Рассмотрим вывод <tex>w</tex>. Если в выводе используется длинное правило вида:<tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>, то заменим его на последовательное применение правил <tex>A \rightarrow a_1B_1</tex>, <tex>B_1 \rightarrow a_2B_2</tex>, <tex>B_2 \rightarrow a_3B_3</tex>, <tex>\ldots </tex>, <tex>B_{k-2} \rightarrow a_{k-1}a_{k}</tex>. Получим вывод <tex>w</tex> в <tex>\Gamma'</tex>.  <tex>\Leftarrow </tex> <br>Покажем, что <tex>L(\Gamma') \subseteq L(\Gamma)</tex>. Допустим, что это не так, то есть <tex>\exists w \in L(\Gamma'), w \notin L(\Gamma)</tex>. Рассмотрим вывод <tex>w</tex> в <tex>\Gamma' \cup \Gamma</tex>, минимальный по количеству примененных правил, отсутствующих в <tex>\Gamma</tex>. *Найдем в этом выводе первое применение некоторого правила <tex>A \rightarrow a_1A_1, a_1 \in \Sigma \cup N</tex>, которого нет в <tex>\Gamma</tex>. В ходе алгоритма оно было получено из некоторого длинного правила <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>. Применим <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex> вместо <tex>A \rightarrow a_1A_1</tex> и удалим в выводе все применения правил, полученных из <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>.Получим вывод <tex>w</tex> в <tex>\alpha_1 Gamma \cup \alpha_2 Gamma'</tex>, в котором меньше применений правил, отсутствующих в <tex>\Gamma</tex>, чем в исходном.Противоречие.}} == Время работы алгоритма ==Здесь будем понимать под <tex> | \Gamma | </tex> сумму длин правых частей правил. Данный алгоритм добавляет в грамматику <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex> новых нетерминалов, <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex> новых правил длины <tex>O(1)</tex> и, следовательно, работает за <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex>. == Пример работы ==Покажем, как описанный алгоритм будет работать на следующей грамматике: : <tex>S \rightarrow AB</tex> : <tex>A \rightarrow aBcB</tex> : <tex>B \rightarrow def</tex>.  Для правила <tex>A \rightarrow aBcB</tex> вводим <tex> 2 </tex> новых нетерминала <tex>A_1, A_2</tex> и <tex> 3 </tex> новых правила: : <tex>A \rightarrow aA_1</tex>: <tex>A_1 \rightarrow BA_2</tex>: <tex>A_2 \alpha_k rightarrow cB</tex>.Требуется получить лишь Для правила <tex>B \rightarrow def</tex> вводим <tex> 1 </tex> новый нетерминал <tex>B_1</tex> и <tex> 2 </tex> новых правила вида:*: <tex>B \rightarrow dB_1</tex>: <tex>B_1 \rightarrow ef</tex>. В итоге полученная грамматика <tex>\Gamma'</tex> будет иметь вид: : <tex>S \rightarrow AB</tex> : <tex>A \rightarrow BCaA_1</tex> : <tex>A_1 \rightarrow BA_2</tex>: <tex>A_2 \rightarrow cB</tex> : <tex>B \rightarrow dB_1</tex> : <tex>B_1 \rightarrow ef</tex>. == См. также ==* [[Контекстно-свободные_грамматики,_вывод,_лево-_и_правосторонний_вывод,_дерево_разбора|Контекстно-свободные грамматики]]* [[Нормальная форма Хомского]] == Источники информации ==* ''Michael Sipser'' Introduction to the Theory of Computation. — PWS Publishing, 1997. — ISBN 0-534-94728-X. (с 107.)* ''Michael A. Harrison'' Introduction to Formal Language Theory. — Addison-Wesley, 1978. — ISBN 978-0201029550. (с 103.)* [[wikipedia:en:Chomsky_normal_form#Converting a grammar to Chomsky Normal Form | Wikipedia {{---}} Chomsky normal form]]

'''Удаление длинных правил.'''Давайте формально перезапишем[[Категория:Теория формальных языков]]*<tex>A \rightarrow \alpha_1 A_1 </tex>. Тогда[[Категория:*<tex>A_1 \rightarrow \alpha_2 A_2</tex>. И т.д.На <tex>kКонтекстно-1 -</tex>ой итерации получим:свободные грамматики]] *<tex>A_{k-1} \rightarrow \alpha_k </tex>Тогда финально получим[[Категория:*<tex>A \rightarrow A_{k-2} A_{kНормальные формы КС-1} </tex>.грамматик]]