Изменения
→Размерность линейного пространства обобщенных циклов
=== Размерность линейного пространства обобщенных циклов ===
==Теорема о существовании простого пути в случае существования пути==
{{Теорема
|statement=
Если между двумя [[Основные определения теории графов|вершинами графа]] существует [[Основные определения теории графов|путь]], то между ними существует простой путь.
|proof=
=== Доказательство построением ===
Возьмём любой из существующих путей между нужными нам вершинами: <tex>v_0e_1v_1e_2v_2 ... e_nv_n</tex>.
* Алгоритм:
1. Для вершины <tex>v_i</tex> найдём момент её последнего вхождения в путь {{---}} <tex>v_j</tex>.
2. Удалим отрезок пути от <tex>e_{i+1}</tex> до <tex>v_j</tex>, включительно.
Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём от <tex>v_0</tex> до <tex>v_n</tex>, и в нём вершина <tex>v_i</tex> будет содержаться ровно один раз.
Начнём процесс с вершины <tex>v_0</tex> и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым.
=== Альтернативное ===
Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины.
Предположение:
Пусть он не простой.
Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины <tex>v_i = v_j</tex>, <tex>i < j</tex>. Удалим из исходного пути отрезок от <tex>e_{i+1}</tex> до <tex>v_j</tex>, включительно. Конечная последовательность также будет путём от <tex>v_0</tex> до <tex>v_n</tex> и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не кратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь {{---}} простой.
}}
== Литература ==
