Изменения

 Тогда: <tex>Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i</tex>.

Тогда регулярным языком <tex>Reg'</tex> над алфавитом <tex> \Sigma = \left\{c_1, c_2, ... ,c_k \right\} </tex> называется пересечение всех надрезов: <tex>Reg'=\bigcap\limits_{R - nadrez}R</tex>.

Будем доказывать по индукции. База индукции: из первого свойства хорошего языка получаем, что <tex>\forall A: Reg_0 \subset A</tex>. Поэтому из того, что <tex>Reg'</tex> есть пересечение всех хороших языков получаем: По определению <tex>Reg'=\bigcapbigcup\limits_{i=0}^{\text{A- xop.}infty}A \Rightarrow Reg_0 \subset Reg'R_i</tex>. Индукционный переход: пусть Рассмотрим <tex>Reg_i \subset Reg'forall i </tex>. Докажем, что и <tex>Reg_{i+1} \subset Reg'forall </tex>. Действительно, так как надрез <tex>Reg_i \subset Reg'R </tex>, то : <tex>\forall A: Reg_i R_i \subset AR</tex>. Рассмотрим способ построения <tex>Reg_{i+1}</tex>: (следует из определения <tex>Reg_{i+1} = Reg_i \cup \left\{L \cup M, LM, L^*| L, M \in Reg_i\right\}R_i</tex>и определения надреза). Тогда, принимая во внимание вышесказанное, получаем, что Это выполнимо для любого надрезa <tex>R \forall A: L, M Rightarrow R_i \in Asubset Reg'</tex>. Так как это выполнено для <tex>A - </tex>хорошее, получаем, что <tex>Reg_{\forall i+1}</tex> тоже содержится в <tex>A</tex>, т.е. <tex>A - xop. \Rightarrow Reg_{i+1} \subset A</tex>. Таким образом получили, что если <tex>Reg_i bigcup\subset Reg' \Rightarrow Reg_limits_{i+1=0} ^{\subset Reg'</tex>. Значит <tex>Reg infty}R_i \subset Reg'</tex>.

По определению Из определения <tex>Reg</tex> получаемследует, что # <tex> Reg_0 \subset Reg </tex>:

# <tex> Reg_0 \subset Reg </tex>.# <tex> L_1, L_2 \in Reg \Rightarrow \exists i </tex>, что <tex> L_1\in R_i </tex> и <tex> \exists j </tex> , что <tex> L_2 \in R_j \Rightarrow L_1L_2 \in R_{max(i, j)+1}, L_1 \cup L_2 \in R_{max(i, j)+1}, L_1^* \in R_{i + 1}</tex> <tex> \Rightarrow L_1L_2 \in Reg, L_1L_2 L_1 \cup L_2\in Reg, L_1^* \in Reg </tex> .

Значит <tex>Reg - </tex>хорошее множествонадрез. А так как <tex>Reg'=\bigcap\limits_{\text{AR- xop.nadrez}}AR</tex>, то <tex>Reg' \subset Reg</tex>.