1632
правки
Изменения
Класс P
,rollbackEdits.php mass rollback
Итого, язык <tex>L</tex> лежит в классе <tex>P=\bigcup_mathrm{i=0P}^{</tex> тогда и только тогда, когда существует такая детерминированная машина Тьюринга <tex>m</tex>, что:# <tex>m</tex> завершает свою работу за полиномиальное время на любых входных данных;# если на вход машине <tex>m</tex> подать слово <tex>l \infty} DTIME(in^i)=L</tex>, то она допустит его;# если на вход машине <tex>m</tex> подать слово <tex>l \bigcup_{i=0}^{not\infty}\bigcup_{k=0}^{\infty} DTIME(in^k)L</tex>, то она не допустит его.
==ОпределениеУстойчивость класса P к изменению модели вычислений ==Язык L лежит в классе <tex>P</tex> тогда и только тогдаМашина Тьюринга может симулировать другие модели вычислений (например, когда существует такая детерминированная машина Тьюринга <tex>m</tex>языки программирования) с не более чем полиномиальным замедлением. Благодаря этому, что:# <tex>mкласс </tex> завершает свою работу за полиномиальное время на любых входных данных # если на вход машине <tex>m</tex> подать слово <tex>l \in Lmathrm{P}</tex>, то она допустит его# если на вход машине <tex>m</tex> подать слово <tex>l \not\in L</tex>, то она этих моделях не допустит егостановится шире.
==Примеры задач Свойства класса P =={{Теорема|statement =Класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно [[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и языков полные задачи|сведения по Карпу]]. <tex>L \in \mathrm{P}, M \le L \Rightarrow M \in \mathrm{P}</tex>.|proof =Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L</tex>, работающий за полиномиальное время.<tex> (M \leq L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\iff} ( \exists f \in \mathrm{\widetilde{P}} : w \in M \Leftrightarrow f(w) \in L ) </tex>.Построим разрешитель <tex>q</tex> для языка <tex>M</tex>. <tex>q(w):</tex> if (<tex>p(f(w))</tex>) return true return falseРазрешитель <tex>q</tex> работает за полиномиальное время, так как композиция полиномов есть полином.}} {{Теорема|statement =<tex>D \subseteq \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{P}=\mathrm{P}^D</tex>. В частности, из этого следует, что <tex>\mathrm{P}=\mathrm{P^P}</tex>.|proof =Понятно, что <tex>\mathrm{P} \subset \mathrm{P}^D</tex>. Докажем, что <tex>\mathrm{P}^D \subset \mathrm{P}</tex>. <tex>L \in \mathrm{P}^D \Rightarrow \exists A \in D: L \in \mathrm{P}^A</tex>. Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L</tex>, работающий за полиномиальное время <tex>f(n)</tex> и использующий оракул языка <tex>A</tex>.Пусть <tex>q</tex> {{---}} разрешитель <tex>A</tex>, работающий за полиномиальное время <tex>g(n)</tex>.Представим себе разрешитель <tex>L</tex>, работающий как <tex>p</tex>, но использующий <tex>q</tex> вместо оракула <tex>A</tex>. Его время работы ограничено сверху значением <tex>f(n) + \sum\limits_{i=1}^{f(n)} g(f(n)) = f(n) + f(n) g(f(n))</tex>, что является полиномом (обращений к <tex>q</tex> максимум <tex>f(n)</tex>; на вход для <tex>q</tex> можем подать максимум <tex>f(n)</tex> данных, так как больше сгенерировать бы не успели). Значит, <tex>L \in \mathrm{P}</tex>.}} {{Теорема|statement =Класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно операций объединения, пересечения, конкатенации, замыкания Клини и дополнения. Если <tex>L_1, L_2 \in \mathrm{P}</tex>, то: <tex>L_1 \cup L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 \cap L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1^* \in \mathrm{P}</tex> и <tex>\overline{L_1} \in \mathrm{P}</tex>.|proof =Докажем замкнутость замыкания Клини. Остальные доказательства строятся аналогично. Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L_1</tex>, работающий за полиномиальное время. Построим разрешитель <tex>q</tex> для языка <tex>L_1^*</tex>. <tex>q(w):</tex> <tex>n = |w|</tex> <tex>endPoses = \{0\}</tex> //позиции, где могут заканчиваться слова, принадлежащие <tex>L_1</tex> for (<tex>i = 1 \ldots n</tex>) for (<tex>j \in endPoses</tex>) if (<tex>p(w[j+1 \ldots i])</tex>) { if (<tex>i = n</tex>) return true <tex>endPoses</tex> <tex>\cup = \{i\}</tex> } return falseХудшая оценка времени работы разрешителя <tex>q</tex> равна <tex>n^2 O(p(w))</tex>, так как в множестве <tex>endPoses</tex> может быть максимум <tex>n</tex> элементов, значит итерироваться по множеству можно за <tex>n</tex>, если реализовать его на основе битового массива, например; при этом операция добавления элемента в множество будет работать за <tex>O(1)</tex>. Итого, разрешитель <tex>q</tex> работает за полиномиальное время (так как произведение полиномов есть полином). Значит <tex>L_1^* \in \mathrm{P}</tex>.}} == Примеры задач и языков из P ==
Класс задач, разрешимых за полиномиальное время достаточно широк, вот несколько его представителей:
* определение связности графов;
* вычисление наибольшего общего делителя.;* задача линейного программирования;
* проверка простоты числа.<ref>[http://www.cse.iitk.ac.in/~manindra/algebra/primality_v6.pdf M.Argawal, N.Kayal, N.Saxena, "Primes is in P"]</ref>
Но существуют задачи не из <tex>\mathrm{P}</tex>, так как из [[теорема о временной иерархии|теоремы о временной иерархии]] следует, что <tex>\exists L \in \mathrm{EXP}\setminus\mathrm{P}</tex>.
{{Теорема
|statement =
Класс [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярных языков]] входит в класс <tex>\mathrm{P}</tex>, то есть: <tex>\mathrm{Reg} \subset \mathrm{P}</tex>.
|proof =
<tex>\mathrm{Reg} \subset \mathrm{TS}(n, 1) \subset \mathrm{P}</tex>
}}
==Задача равенства P-полные задачи ==Говоря про <tex>\mathrm{P}</tex> -[[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи#Определения трудных и полных задач|полноту]], мы, как правило, подразумеваем <tex>NP\mathrm{P}</tex>==Одним из центральных вопросов теории сложности является вопрос о равенстве классов -полноту относительно <tex>P\widetilde{\mathrm{L}}</tex> и -сведения.<ref>[[NPКлассы L, NL, coNL. NL-полнота задачи о достижимости]], не разрешенный по сей день. </ref>
{{Теорема|statement =<tex>CIRCVAL</tex> {{---}} <tex>\mathrm{P}</tex>-полная задача.<ref>[http://www.math.sc.edu/~cooper/math778C/abct.pdf S.Arora, B.Barak, "Computational Complexity: A Modern Approach"]</ref>}} ==Ссылки==
<references/>
[[Категория: Классы сложности]]