Изменения
Нет описания правки
|statement= Пусть <tex>G</tex> - произвольный неориентированный граф и <tex>\delta</tex> - минимальная степень его вершин. Если <tex>\delta \ge 2</tex>, то в графе <tex>G</tex> существует цикл <tex>C</tex> длиной <tex>l \ge \delta + 1</tex>.
|proof=
Рассмотрим путь максимальной длины <tex>P = v_0 v_1 .. v_s</tex>. Все смежные с <tex>v_0</tex> вершины лежат на <tex>P</tex>. Обозначим <tex>k = max\{i: v_0 v_i \in E\}</tex>. Тогда <tex>\delta \le deg \ v_0 \le k</tex>. Цикл <tex>C = v_0 v_1 .. v_k v_0</tex> имеет длину <tex>l = k + 1 \ge \delta + 1</tex>
}}
|proof=
Пусть <tex>C</tex> - цикл наибольшей длины в графе <tex>G</tex>. По лемме его длина <tex>l \ge n + 1</tex>. Если <tex>C</tex> - гамильтонов, то теорема доказана. Предположим обратное, т. е. <tex>G \backslash C \ne \varnothing</tex>. Рассмотрим путь <tex>P = x..y : P \cap C = \{y\}</tex> наибольшей длины <tex>m</tex>. Заметим, что по условию <tex>\delta \ge n/2</tex>, а значит <tex>\delta \ge n - \delta > n - l = |V(G \backslash C)|</tex> и каждая вершина из <tex>G \backslash C</tex> смежна с некоторыми вершинами из <tex>C</tex>.
Заметим, что вершина <tex>x</tex> не может быть смежна с вершинами из <tex>C</tex>, расстояние от которых до <tex>y</tex>(по <tex>C</tex>) не превышает m, а также двум смежным вершинам(это противоречило бы максимальности цикла <tex>C</tex>). Получаем <tex>deg \ x \le m + (l - 2m)/2 =l/2 < n/2 \le \delta</tex>. Противоречие.
}}
