Изменения

== Определения =={{Определение|definition =[[Бинарное отношение]] <mathtex>R</mathtex> на [[Множества|множестве]] <mathtex>X</mathtex> называется '''отношением порядка''', или '''отношением частичного порядка''', если имеют местооно обладает следующими свойствами:* ''[[Рефлексивное_отношениеРефлексивное отношение|Рефлексивность]]'': <mathtex>\forall x (xRx)a \in X: aRa</mathtex>.* ''[[Транзитивное_отношениеСимметричное отношение|ТранзитивностьАнтисимметричность]]'': <mathtex>\forall x a, b \forall y \forall z (x R y \land y R z \Rightarrow x R z)in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRa</tex>, то <tex> a = b </mathtex>;.* ''[[Антисимметричное_отношениеТранзитивное отношение|АнтисимметричностьТранзитивность]]'': <mathtex>\forall x a, b, c \forall y (x R y \land y R x \Rightarrow x = y)in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRc</tex>, то <tex>aRc</tex>.}}Множество <tex>X</mathtex>, на котором введено отношение частичного порядка, называется '''частично упорядоченным'''.

Отношение частичного порядка также называют '''нестрогим порядком'''.{{Определение|definition =[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''строгим отношением частичного порядка''', если оно обладает следующими свойствами:* [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]]: <tex>\forall a \in X: aRa - не выполняется</tex>.* [[Симметричное отношение|Антисимметричность]]: <tex>\forall a, b \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>aRx</tex>, то <tex> a = b </tex>.* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]]: <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRc</tex>, то <tex>aRc</tex>.}}{{Определение|definition =[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением линейного порядка''', если оно является отношением частичного порядка и обладает следующим свойством: <tex>\forall a \in X \forall b \in X либо aRb, либо bRa</tex>.}}Множество <mathtex>X</mathtex>, на котором введено отношение частичного линейного порядка, называется '''линейно упорядоченным'''.{{Определение|definition =[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением полного порядка''', если оно является отношением линейного порядка и обладает следующим свойством: <tex>\exists a \in X \forall b \in X: aRb</tex>.}}Множество <tex>X</tex>, на котором введено отношение полного порядка, называется '''частично полностью упорядоченным'''.

Отношение <math>R</math>, удовлетворяющее условиям рефлексивности, транзитивности, антисимметричности также называют ''нестрогим'', или ''рефлексивным частичным порядком'' и обычно нестрогого порядка обозначают символом <mathtex>\leqslant</mathtex>. Если условие рефлексивности заменить на условие антирефлексивности:: Запись вида <mathtex>a \forall x \neg(xRx)leqslant b</mathtex>,то получим определение ''строгого'', или ''антирефлексивного частичного порядка'', обозначаемое обычно символом <math><</math>.В общем случае, если читают как "<mathtex>Ra</mathtex> — транзитивное, антисимметричное отношение, то: меньше либо равно <mathtex>R_{\leqslant} = R \cup \{(x, x) | x \in X\}</math> — рефлексивный порядок: <math>R_{<} = R \setminus \{(x, x) | x \in X\}b</mathtex> — антирефлексивный порядок".

Отношение частичного строгого порядка обозначают символом <mathtex>R<</mathtex>. Запись вида <tex> называется ''линейным порядком'', если выполнено условие: a < b</tex> читают как "<mathtex>\forall x \forall y (x R y \lor y R x)a</mathtex>Множество меньше <mathtex>Xb</mathtex>". == Примеры ==* На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого, на котором введено отношение причем линейного порядка, называется '''линейно упорядоченным''', или ''цепью''но не полного.* Отношение "являться делителем" на множестве целых чисел являются отношением частичного порядка.

Отношение == Нетривиальный пример ==Можно привести не совсем тривиальный пример: <mathtex>Ra</mathtex> находится в отношении с <tex>b</tex>, удовлетворяющее только условиям рефлексивности и транзитивности, называется '''квазипорядком''', или ''предпорядком''если <tex>\frac{a}{b} \leqslant 1</tex>. В качестве множества возьмём натуральные числа.Проверим свойства:

1) <tex> \forall a \in X:\frac{a}{a} \leqslant 1</tex>  2) <tex>\forall a, b \in X:</tex> если <tex>\frac{a}{b} \leqslant 1</tex> и <tex>\frac{b}{a} \leqslant 1</tex>, то <tex> a =b </tex> 3) <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>\frac{a}{b} \leqslant 1</tex> и <tex>\frac{b}{c} \leqslant 1</tex>, то <tex>\frac{a}{c} \leqslant 1</tex> 4) <tex>\forall a \in X \forall b \in X либо \frac{a}{b} \leqslant 1, либо \frac{b}{a} \leqslant 1</tex> 5) <tex>\exists a \in X \forall b \in X: \frac{a}{b} \leqslant 1</tex> - очевидно это <tex> a = Примеры 1 </tex> Таким образом данное отношение является отношением полного порядка. == Ссылки ==* На множестве вещественных чисел отношения «больше» [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE Wikipedia: Частично упорядоченные множества] [[Категория: Дискретная математика и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого.алгоритмы]]* Отношение Делимость|делимости на множестве целых чисел являются отношением нестрогого порядка.[[Категория: Отношения]]