Изменения
Новая страница: «{{В разработке}} {{todo|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕК...»
{{В разработке}}
{{todo|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
<tex>(X, \mathcal{R}, \mu) \to (X, 2^X, \mu^*) \to (X, \mathcal{A}, \mu)</tex>
{{Теорема
|author=Каратеодори
|statement=
1. <tex>\mathcal{R} \subset \mathcal{A}</tex>
2. <tex>\mu|_\mathcal{R} = m</tex>
|proof=
Если мы докажем, что <tex>\mathcal{R} \subset \mathcal{A}</tex>, то есть, любое множество полукольца хорошо разбивает любое другое, то , взяв любое <tex>A \in \mathcal{R}</tex>, <tex>\mu^*A = \mu A</tex>, так как <tex>\mathcal{R} subset \mathcal{A}</tex>. Но <tex>\mu^*</tex> порождена <tex>m</tex> (<tex>\mu^* |_\mathcal{R} = m</tex>). Но <tex>A\in \mathcal{A}</tex>, по определению <tex>\mu^*</tex>, <tex>\mu^* A \leq mA \Rightarrow \mu A = mA</tex>
Значит, второй пункт вытекает из первого. Докажем первый пункт.
<tex>\forall A \in \mathcal{R}\ \forall E \subset X</tex> нужно, чтобы <tex>\mu^* E \geq \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap\bar A)</tex>
Надо доказать, для <tex>\mu^* E < +\infty</tex>, обратное {{---}} очевидно.
Воспользуемся тем, что <tex>\mu^*</tex> порождена <tex>m</tex>:
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists A_1, A_2 \ldots A_n \ldots \in \mathcal{R} : \bigcup\limits_j A_j \supset E</tex>, <tex>\sum\limits_j mA_j < \mu E + \varepsilon</tex>
Пересекаем это включение с <tex>A</tex> ({{todo|t=мумная формулировка}})
<tex>E \cap A \subset \bigcap\limits_j(A_j \cap A)</tex>
По аксиомам полукольца, <tex>A_j\cap A \in \mathcal{R}</tex>.
Значит, мы получили покрытие этого множества элементами полукольца.
Тогда, по определению <tex>\mu^*</tex>, порождённой <tex>m</tex>
<tex>\mu^*(E\cap A) \leq \sum\limits_j m(A_j\cap A)</tex>
<tex>E\cap\bar A \subset \bigcup\limits_j(A_j\cap\bar A)</tex>. Однако, здесь нет гарантий, что <tex>A_j\cap\bar A \in \mathcal{R}</tex>.
<tex>A_j\cap\bar A = A_j\setminus A = A_j\setminus (A\cap A_j)</tex>, <tex>A\cap A_j \in \mathcal{R}</tex>
Тогда, по аксиомам полукольца, <tex>A_j\setminus (A\cap A_j) = \bigcup\limits_p D_{jp}</tex> {{---}} дизъюнктны в <tex>\mathcal{R}</tex>.
<tex>E\cap\bar A \subset \bigcup\limits_j \bigcup\limits_p D_{jp}</tex>, все <tex>D</tex> {{---}} из полукольца.
Значит, <tex>E\cap\bar A</tex> покрывается элементами полукольца, так как <tex>\mu^*</tex> порождена <tex>m</tex>.
<tex>\mu^*(E\cap\bar A) \leq \sum\limits_j \sum\limits_p mD_{jp}</tex>
<tex>A_j = (A_j \cap A) \cup \bigcup\limits_p D_{jp}</tex> {{---}} из полукольца.
Таким образом, <tex>A_j \in \mathcal{R}</tex> разбивается в дизъюнктное объединение множеств из <tex>\mathcal{R}</tex>. Отсюда, по <tex>\sigma</tex>-аддитивности меры,
<tex>mA_j = m(A\cap A_j) + \sum\limits_p mD_{jp}</tex>
<tex>\sum\limits_p mD_{jp} = mA_j - m(A\cap A_j)</tex>
Тогда, <tex>\mu^*(E\cap\bar A)\leq \sum(mA_j- m(A\cap A_j))</tex>
Складываем с предыдущим неравенством.
<tex>\mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap\bar A) \leq \sum\limits_j mA_j < \mu^*E+\varepsilon</tex>
При <tex>\varepsilon \to 0</tex> получаем требуемое неравенство.
}}
{{todo|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
<tex>(X, \mathcal{R}, \mu) \to (X, 2^X, \mu^*) \to (X, \mathcal{A}, \mu)</tex>
{{Теорема
|author=Каратеодори
|statement=
1. <tex>\mathcal{R} \subset \mathcal{A}</tex>
2. <tex>\mu|_\mathcal{R} = m</tex>
|proof=
Если мы докажем, что <tex>\mathcal{R} \subset \mathcal{A}</tex>, то есть, любое множество полукольца хорошо разбивает любое другое, то , взяв любое <tex>A \in \mathcal{R}</tex>, <tex>\mu^*A = \mu A</tex>, так как <tex>\mathcal{R} subset \mathcal{A}</tex>. Но <tex>\mu^*</tex> порождена <tex>m</tex> (<tex>\mu^* |_\mathcal{R} = m</tex>). Но <tex>A\in \mathcal{A}</tex>, по определению <tex>\mu^*</tex>, <tex>\mu^* A \leq mA \Rightarrow \mu A = mA</tex>
Значит, второй пункт вытекает из первого. Докажем первый пункт.
<tex>\forall A \in \mathcal{R}\ \forall E \subset X</tex> нужно, чтобы <tex>\mu^* E \geq \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap\bar A)</tex>
Надо доказать, для <tex>\mu^* E < +\infty</tex>, обратное {{---}} очевидно.
Воспользуемся тем, что <tex>\mu^*</tex> порождена <tex>m</tex>:
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists A_1, A_2 \ldots A_n \ldots \in \mathcal{R} : \bigcup\limits_j A_j \supset E</tex>, <tex>\sum\limits_j mA_j < \mu E + \varepsilon</tex>
Пересекаем это включение с <tex>A</tex> ({{todo|t=мумная формулировка}})
<tex>E \cap A \subset \bigcap\limits_j(A_j \cap A)</tex>
По аксиомам полукольца, <tex>A_j\cap A \in \mathcal{R}</tex>.
Значит, мы получили покрытие этого множества элементами полукольца.
Тогда, по определению <tex>\mu^*</tex>, порождённой <tex>m</tex>
<tex>\mu^*(E\cap A) \leq \sum\limits_j m(A_j\cap A)</tex>
<tex>E\cap\bar A \subset \bigcup\limits_j(A_j\cap\bar A)</tex>. Однако, здесь нет гарантий, что <tex>A_j\cap\bar A \in \mathcal{R}</tex>.
<tex>A_j\cap\bar A = A_j\setminus A = A_j\setminus (A\cap A_j)</tex>, <tex>A\cap A_j \in \mathcal{R}</tex>
Тогда, по аксиомам полукольца, <tex>A_j\setminus (A\cap A_j) = \bigcup\limits_p D_{jp}</tex> {{---}} дизъюнктны в <tex>\mathcal{R}</tex>.
<tex>E\cap\bar A \subset \bigcup\limits_j \bigcup\limits_p D_{jp}</tex>, все <tex>D</tex> {{---}} из полукольца.
Значит, <tex>E\cap\bar A</tex> покрывается элементами полукольца, так как <tex>\mu^*</tex> порождена <tex>m</tex>.
<tex>\mu^*(E\cap\bar A) \leq \sum\limits_j \sum\limits_p mD_{jp}</tex>
<tex>A_j = (A_j \cap A) \cup \bigcup\limits_p D_{jp}</tex> {{---}} из полукольца.
Таким образом, <tex>A_j \in \mathcal{R}</tex> разбивается в дизъюнктное объединение множеств из <tex>\mathcal{R}</tex>. Отсюда, по <tex>\sigma</tex>-аддитивности меры,
<tex>mA_j = m(A\cap A_j) + \sum\limits_p mD_{jp}</tex>
<tex>\sum\limits_p mD_{jp} = mA_j - m(A\cap A_j)</tex>
Тогда, <tex>\mu^*(E\cap\bar A)\leq \sum(mA_j- m(A\cap A_j))</tex>
Складываем с предыдущим неравенством.
<tex>\mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap\bar A) \leq \sum\limits_j mA_j < \mu^*E+\varepsilon</tex>
При <tex>\varepsilon \to 0</tex> получаем требуемое неравенство.
}}
